Нижняя грань

Очевидно, что $0$ является нижней границей, ведь при положительных $x$ функция всегда будет больше $0$.

Докажем теперь, что $0$ является наибольшей нижней границей. При $x=0$ имеем $f(x)=0$, то есть получается, что нижняя граница включена в множество значений функции в рассматриваемом по условию полуинтервале.

Предположим, что $0$ не является наибольшей нижней границей, то есть существует еще какая-то нижняя граница $t^{\prime }>0$, то есть

$$\forall x\in [0,+\infty ):f(x)\ge t$$

Но при $x=0$ имеем $f(x)=0<t$. Получили противоречие. Значит, не существует никакой нижней границы, которая была бы больше $0$. Значит, $0$ — точняя нижняя грань функции $f(x)$.

$■$

Верхняя грань

Проверим, является ли $1$ верхней границей $f(x)$:

$$\begin{gathered} f(x)\le 1 \\ \frac{x}{1+x}\le 1 \\ x\le 1+x \\ 0\le 1 \end{gathered}$$

Теперь будем доказывать, что $1$ является точной верхней гранью. Для того рассмотрим следующую последовательность из $x$-ов:

$$x_n=n$$

Получаем следующую последовательность значений:

$$y_n=f(x_n)=\frac{n}{1+n}$$

Найдем, к чему стремится эта последовательность. Это элементарный предел (см. прото-задачу П-ссылка):

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{1+n}=1$$

По определению это означает, что какое-бы число $\epsilon >0$ мы не взяли, всегда найдется бесконечно много значений функции, которые лежат в интервале $(1-\epsilon ,1)$. Это значит, что не существует верхней границы, которая была бы меньше $1$. То есть, $1$ — наименьшая верхняя грань функции $f(x)$.

$■$