Демидович
385

Исследовать на ограниченность функцию

в интервале .

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Покажите, что ограничена сверху и неограничена снизу.

Пользуйтесь такими -ами, при которых синус в равен .

Решение

Ограничение сверху

По определению все значения синуса лежат в отрезке . Но у нас синус в квадрате, поэтому его значения лежат в отрезке .

Другими словами, синус в нашей формуле будет все время уменьшать значения . В лучшем случае, когда , значение функции будет равно . Более того, при функция будет не превышать , так как при , а квадрат синуса на знак функции не влияет.

Итак, на итервале функция ограничена сверху либо , либо значением самого логарифма:

Ограничение снизу

Найдем, при каких квадрат синуса в равняется .

Поиск таких -ов

По определению синуса он равен при углах в . Но нам подойдет и , ведь в квадрате все-равно получим , поэтому:

Для того, что сформировать последовательность, ограничимся только натуральными , которые обозначим за . Выразим :

Получили последовательность из , причем при таких -ах получаем последовательность значений функции :

Эта последовательность значений функции стремится к :

Доказательство

Сначала преобразуем саму последовательность :

Теперь докажем по определению, что стремится к , то есть какое бы мы не взяли, всегда найдется такой номер , после которого все члены будут меньше, чем :

Представим обе части неравенства как показатели степени с основанием :

Итак, для любой наперед заданной нижней границы достаточно взять натуральное число , которое удовлетворяет неравенству выше, и тогда для всех остальных натуральных чисел . Это по определению и означает, что .

Предположим, что ограничена снизу числом на интервале . Рассмотрим, после какого натурального все члены последовательности попадают в указанный интервал:

Кроме того, так как мы показали, что , то, по определению найдется такое натуральное , что для всех остальных натуральных чисел больше все члены будут меньше выбранной нами границы .

Это означает, что нам нужно взять следующее :

И для любого член последовательности одновременно будет в интервале и при этом . Получили противоречие.

Это означает, что неограничена снизу в интервале .

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!