Демидович
396

Определить верхнюю и нижнюю грани функций:

Ответ

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Найдите, какие значения принимает на рассматриваемом отрезке.

Для доказательства точной верхней грани постройте последовательность -ов, которая стремится к .

Решение

Сначала разберемся, какие значения может принимать функция целой части числа на рассматриваемом отрезке.

Если , то

Если принадлежит полуинтервалу , то , так как (), поэтому


Нетрудно догадаться, что точной нижней гранью в этом случае является число . Действительно, при любом из отрезка . Это видно по расшифровке выше. Помимо этого, не существует большей нижней границы, ведь тогда, взяв , получим противоречие определению нижней границы. По определению это обозначает, что — точная нижняя грань .

Немного сложнее, но все же достаточно просто догадаться, что точная верхняя грань равна . К этой грани стремится при стремлении к . Докажем это.

является верхней границей, потому что для любого из выполняется неравенство (на самом деле, в нашем случае выполняется даже строгое неравенство).

Рассмотрим теперь следующую последовательность -ов:

Каждый член этой последовательности находится в полуинтервале , на котором, как мы показали выше, .

Последовательность значений функции имеет вид:

Найдем, к чему она стремится:

Здесь мы воспользовались тем, что . Это элементарный предел (см. прото-задачу П.10).

По определению это означает, что какое-бы число мы не взяли, всегда найдется бесконечно много значений функции, которые лежат в интервале . Это значит, что не существует верхней границы, которая была бы меньше . То есть, — наименьшая верхняя грань функции .

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Элементарные пределы последовательностей
Пределы последовательностей, к которым сводятся множество задач.