Сначала разберемся, какие значения может принимать функция целой части числа на рассматриваемом отрезке.

Если $x=1$, то

$$f(1)=1-[1]=1-1=0$$

Если $x$ принадлежит полуинтервалу $[0,1)$, то $[x]=0$, так как ($0\le x<1$), поэтому

$$f(x)=x$$

Нетрудно догадаться, что точной нижней гранью в этом случае является число $0$. Действительно, $0\le f(x)$ при любом $x$ из отрезка $[0,1]$. Это видно по расшифровке выше. Помимо этого, не существует большей нижней границы, ведь тогда, взяв $f(0)=0$, получим противоречие определению нижней границы. По определению это обозначает, что $0$ — точная нижняя грань $f(x)$.

Немного сложнее, но все же достаточно просто догадаться, что точная верхняя грань равна $1$. К этой грани $f(x)$ стремится при стремлении $x$ к $1$. Докажем это.

$1$ является верхней границей, потому что для любого $x$ из $[0,1]$ выполняется неравенство $f(x)\le 1$ (на самом деле, в нашем случае выполняется даже строгое неравенство).

Рассмотрим теперь следующую последовательность $x$-ов:

$$x_n=1-\frac{1}{n}$$

Каждый член этой последовательности находится в полуинтервале $[0,1)$, на котором, как мы показали выше, $f(x)=x$.

Последовательность значений функции имеет вид:

$$y_n=f(x_n)=x_n=1-\frac{1}{n}$$

Найдем, к чему она стремится:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }1-\frac{1}{n}=1-\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=1-0=1$$

Здесь мы воспользовались тем, что $\frac{1}{n}\to 0$. Это элементарный предел (см. прото-задачу П-ссылка).

По определению это означает, что какое-бы число $\epsilon >0$ мы не взяли, всегда найдется бесконечно много значений функции, которые лежат в интервале $(1-\epsilon ,1)$. Это значит, что не существует верхней границы, которая была бы меньше $1$. То есть, $1$ — наименьшая верхняя грань функции $f(x)$.

$■$