Ничего не нашлось!
Попробуйте переформулировать запрос.
Вы можете предложить добавить решение/материал.
Свойства подпоследовательностей

Содержимое задачи.

К решению
Задача 397
Нормальная

Определить колебание функции на интервалах:

Ответ

Пункт а)

Пункт б)

Пункт в)

Пункт г)

Указание

Покажите, что функция на интервале при положительных и имеет следующие грани:

Для доказательства точных граней постройте последовательность -ов, которая стремится к ).


Для расчета колебания воспользуйтесь формулой разности квадратов.

Решение

Пункт а) + общий подход

На примере интервала покажем, что , а .

Для начала покажем, что является нижней границей . По условию:

Возводим все части неравенства в квадрат:

Для любого получаем, что . Это по определению означает, что — нижняя граница .

Теперь докажем, что она является точной нижней гранью. Для этого рассмотрим следующую последовательность -ов:

Каждый член этой последовательности попадает в рассматриваемый интервал . Эта последовательность также образует последовательность значений функции:

Найдем предел этой последовательности:

Здесь мы воспользовались тем, что . Это элементарный предел (см. прото-задачу П-ссылка).

По определению это означает, что какое-бы число мы не взяли, всегда найдется бесконечно много значений функции, которые лежат в интервале . Это значит, что не существует нижней границы, которая была бы больше . То есть, — точная нижняя грань функции .

Аналогичным образом доказывается, что . Точно такие же рассуждения можно провести и для пунктов б), в) и г).

Итак, для интервала имеем:

По определению колебание функции равно:

Пункт б)

Пункт в)

Пункт г)