Демидович
397

Определить колебание функции на интервалах:

Ответ

Пункт а)

Пункт б)

Пункт в)

Пункт г)

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Покажите, что функция на интервале при положительных и имеет следующие грани:

Для доказательства точных граней постройте последовательность -ов, которая стремится к ).


Для расчета колебания воспользуйтесь формулой разности квадратов.

Решение

Пункт а) + общий подход

На примере интервала покажем, что , а .

Для начала покажем, что является нижней границей . По условию:

Возводим все части неравенства в квадрат:

Для любого получаем, что . Это по определению означает, что — нижняя граница .

Теперь докажем, что она является точной нижней гранью. Для этого рассмотрим следующую последовательность -ов:

Каждый член этой последовательности попадает в рассматриваемый интервал . Эта последовательность также образует последовательность значений функции:

Найдем предел этой последовательности:

Здесь мы воспользовались тем, что . Это элементарный предел (см. прото-задачу П.10).

По определению это означает, что какое-бы число мы не взяли, всегда найдется бесконечно много значений функции, которые лежат в интервале . Это значит, что не существует нижней границы, которая была бы больше . То есть, — точная нижняя грань функции .

Аналогичным образом доказывается, что . Точно такие же рассуждения можно провести и для пунктов б), в) и г).

Итак, для интервала имеем:

По определению колебание функции равно:

Пункт б)

Пункт в)

Пункт г)

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Элементарные пределы последовательностей
Пределы последовательностей, к которым сводятся множество задач.