Задача 40 — Демидович

Откройте "Открытую Математику"!

Понятная теория, конспекты и задачник в одном флаконе!

└─

└─

└─

└─

└─

└─

Нормальная

Пусть $δ (x)$ и $δ (y)$ — относительные погрешности чисел $x$ и $y$ , $δ (x y)$ — относительная погрешность числа $x y$ . Доказать, что

$δ (x y) \leq δ (x) + δ (y) + δ (x) δ (y)$

Указание

Составьте цепные неравенства для чисел $x$ и $y$ .

Перемножьте эти неравенства для получения цепного неравенства их произведения.

Из двух оценок относительных погрешностей выберите в качестве основной наибольшую.

Поделите неравенство с выбранной абсолютной погрешностью на $x y$ и воспользуйтесь формулой относительной погрешности.

Решение

Выполненное измерение величины $x$ с погрешностью $Δ_{x}$ будет колебаться в пределах:

$x - Δ_{x} \leq x \leq x + Δ_{x}$

Выполненное измерение величины $y$ с погрешностью $Δ_{y}$ будет колебаться в пределах:

$y - Δ_{y} \leq y \leq y + Δ_{y}$

Перемножим эти неравенства:

$x y - (x Δ_{y} + y Δ_{x} - Δ_{x} Δ_{y}) \leq x y \leq x y + x Δ_{y} + y Δ_{x} + Δ_{x} Δ_{y}$

В неравенстве выше видем две возможные оценки для абсолютной погрешности $Δ_{x y}$ :

$Δ_{x y} Δ_{x y} \leq (x Δ_{y} + y Δ_{x} - Δ_{x} Δ_{y}) \leq x Δ_{y} + y Δ_{x} + Δ_{x} Δ_{y}$

Вторая оценка, очевидно, покрывает первую (потому что она больше), поэтому ей и будем пользоваться:

$Δ_{x y} \leq x Δ_{y} + y Δ_{x} + Δ_{x} Δ_{y}$

Делим это неравенство на $x y$ :

$\frac{Δ _{x y}}{x y} \leq \frac{Δ _{y}}{y} + \frac{Δ _{x}}{x} + \frac{Δ _{x} Δ _{y}}{x y}$

Каждая дробь представляет собой относительную погрешность, так как ее формула:

$δ_{a} = \frac{Δ _{a}}{∣ a ∣}$

Поэтому, получаем

$δ_{x y} \leq δ (x) + δ (y) + δ (x) δ (y)$

$■$