Демидович
405

Сформулировать с помощью неравенств следующие утверждения и привести соответствующие примеры:

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

По сути, в задании требуется привести определения обыкновенного, левого и правого пределов функции в точке , которые равны и .

В качестве примеров воспользуйтесь функциями и .

Для сокращения рутинной работы по доказательству примеров по определению воспользуйтесь прото-задачей П.32.

Решение

Пункт а)

Пример:

Доказательство

Итак, нам дана произвольная граница . Нужно найти такое , чтобы выполнялась импликация:

Рассмотрим последнее неравенство:

Значим, мы можем просто принять за число . Тогда, для таких , возвращаясь по цепочке преобразований обратно, получим, что . Это по определению означает, что

Пункт б)

Пример:

Доказательство

Тогда

Пункт в)

Пример:

Доказывается аналогично пункту б).

Пункт г)

Пример:

То, что предел равен доказывается по приведенному выше определению левого предела функции в точке. То, что следует из прото-задачи П.32.

Пункт д)

Подойдет пример для пункта г).

Пункт е)

Пример:

То, что предел равен доказывается по приведенному выше определению левого предела функции в точке.

Пункт ж)

Пример:

То, что предел равен доказывается по приведенному выше определению правого предела функции в точке. То, что следует из прото-задачи П.32.

Пункт з)

Пример:

Доказывается по приведенному выше определению правого предела функции в точке.

Пункт и)

Подойдет пример для пункта ж).

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Отношения между бесконечностями
Связь и с в значении предела, а также при стремлении к ним.