Пункт а)

$$\begin{gathered} \underset{x\to a}{\lim }f(x)=\infty \iff \\ \iff \forall E>0\exists \delta =\delta (E)>0:\left(0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)|>E\right) \end{gathered}$$

Пример:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}=\infty$$

Пункт б)

$$\begin{gathered} \underset{x\to a}{\lim }f(x)=-\infty \iff \\ \iff \forall E>0\exists \delta =\delta (E)>0:\left(0<|x-a|<\delta \Rightarrow f(x)<-E\right) \end{gathered}$$

Пример:

$$\underset{x\to 0}{\lim }-\frac{1}{x^2}=-\infty$$

Пункт в)

$$\begin{gathered} \underset{x\to a}{\lim }f(x)=+\infty \iff \\ \iff \forall E>0\exists \delta =\delta (E)>0:\left(0<|x-a|<\delta \Rightarrow f(x)>E\right) \end{gathered}$$

Пример:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}=+\infty$$

Доказывается аналогично пункту б).

Пункт г)

$$\begin{gathered} \underset{x\to a-0}{\lim }f(x)=\infty \iff \\ \iff \forall E>0\exists \delta =\delta (E)>0:(a-\delta <x<a\Rightarrow |f(x)|>E) \end{gathered}$$

Пример:

$$\underset{x\to 0-0}{\lim }\frac{1}{x}=-\infty =\infty$$

То, что предел равен $-\infty$ доказывается по приведенному выше определению левого предела функции в точке. То, что $-\infty =\infty$ следует из прото-задачи П.32.

Пункт д)

$$\begin{gathered} \underset{x\to a-0}{\lim }f(x)=-\infty \iff \\ \iff \forall E>0\exists \delta =\delta (E)>0:(a-\delta <x<a\Rightarrow f(x)<-E) \end{gathered}$$

Подойдет пример для пункта г).

Пункт е)

$$\begin{gathered} \underset{x\to a-0}{\lim }f(x)=+\infty \iff \\ \iff \forall E>0\exists \delta =\delta (E)>0:(a-\delta <x<a\Rightarrow f(x)>E) \end{gathered}$$

Пример:

$$\underset{x\to 0-0}{\lim }\frac{1}{x^2}=+\infty$$

То, что предел равен $+\infty$ доказывается по приведенному выше определению левого предела функции в точке.

Пункт ж)

$$\begin{gathered} \underset{x\to a+0}{\lim }f(x)=\infty \iff \\ \iff \forall E>0\exists \delta =\delta (E)>0:(a<x<a+\delta \Rightarrow |f(x)|>E) \end{gathered}$$

Пример:

$$\underset{x\to 0+0}{\lim }\frac{1}{x}=+\infty =\infty$$

То, что предел равен $+\infty$ доказывается по приведенному выше определению правого предела функции в точке. То, что $+\infty =\infty$ следует из прото-задачи П.32.

Пункт з)

$$\begin{gathered} \underset{x\to a+0}{\lim }f(x)=-\infty \iff \\ \iff \forall E>0\exists \delta =\delta (E)>0:(a<x<a+\delta \Rightarrow f(x)<-E) \end{gathered}$$

Пример:

$$\underset{x\to 0+0}{\lim }-\frac{1}{x^2}=-\infty$$

Доказывается по приведенному выше определению правого предела функции в точке.

Пункт и)

$$\begin{gathered} \underset{x\to a+0}{\lim }f(x)=+\infty \iff \\ \iff \forall E>0\exists \delta =\delta (E)>0:(a<x<a+\delta \Rightarrow f(x)>E) \end{gathered}$$

Подойдет пример для пункта ж).