Сформулировать с помощью неравенств следующие утверждения и привести соответствующие примеры:
По сути, в задании требуется привести определения обыкновенного, левого и правого пределов функции в точке , которые равны и .
В качестве примеров воспользуйтесь функциями и .
Для сокращения рутинной работы по доказательству примеров по определению воспользуйтесь прото-задачей П.32.
Пункт а)
Пример:
Итак, нам дана произвольная граница . Нужно найти такое , чтобы выполнялась импликация:
Рассмотрим последнее неравенство:
Значим, мы можем просто принять за число . Тогда, для таких , возвращаясь по цепочке преобразований обратно, получим, что . Это по определению означает, что
Пункт б)
Пример:
Тогда
Пункт в)
Пример:
Доказывается аналогично пункту б).
Пункт г)
Пример:
То, что предел равен доказывается по приведенному выше определению левого предела функции в точке. То, что следует из прото-задачи П.32.
Пункт д)
Подойдет пример для пункта г).
Пункт е)
Пример:
То, что предел равен доказывается по приведенному выше определению левого предела функции в точке.
Пункт ж)
Пример:
То, что предел равен доказывается по приведенному выше определению правого предела функции в точке. То, что следует из прото-задачи П.32.
Пункт з)
Пример:
Доказывается по приведенному выше определению правого предела функции в точке.
Пункт и)
Подойдет пример для пункта ж).