Определение предела функции в точке

С помощью «$\epsilon$ — $\delta$»-рассуждений доказать, что

$$\underset{x\to 2}{\lim }{x}^2=4.$$

Заполнить следующую таблицу:

$$\begin{array}{cccccc}\epsilon & 0.1& 0.01& 0.001& 0.0001& \dots \\ \delta & & & & & \end{array}$$

На языке «$E$ — $\delta$» доказать, что

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{(1-x{)}^2}=+\infty .$$

Заполнить следующую таблицу:

$$\begin{array}{cccccc}E& 10& 100& 1000& 10000& \dots \\ \delta & & & & & \end{array}$$

Сформулировать с помощью неравенств следующие утверждения:

$$\text{а) }\underset{x\to a}{\lim }f(x)=b;\text{б) }\underset{x\to a-0}{\lim }f(x)=b;\text{в) }\underset{x\to a+0}{\lim }f(x)=b.$$

Привести соответствующие примеры.

$$\text{а) }\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=b;\text{б) }\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=b;\text{в) }\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=b$$

$$\begin{array}{ll}\text{а) }\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\infty ;& \text{б) }\underset{x\to a}{\lim }f(x)=-\infty ;\\ \text{в) }\underset{x\to a}{\lim }f(x)=+\infty ;& \text{г) }\underset{x\to a-0}{\lim }f(x)=\infty ;\\ \text{д) }\underset{x\to a-0}{\lim }f(x)=-\infty ;& \text{е) }\underset{x\to a-0}{\lim }f(x)=+\infty ;\\ \text{ж) }\underset{x\to a+0}{\lim }f(x)=\infty ;& \text{з) }\underset{x\to a+0}{\lim }f(x)=-\infty ;\\ \text{и) }\underset{x\to a+0}{\lim }f(x)=+\infty & \end{array}$$

$$\begin{array}{ll}\text{а) }\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=\infty ;& \text{б) }\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=-\infty ;\\ \text{в) }\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=+\infty ;& \text{г) }\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\infty ;\\ \text{д) }\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty ;& \text{е) }\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty ;\\ \text{ж) }\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\infty ;& \text{з) }\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=-\infty ;\\ \text{и) }\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty & \end{array}$$

Пусть $y=f(x)$. Сформулировать с помощью неравенств, что значит:

$$\begin{array}{ll}\text{а) }y\to b-0\text{ при }x\to a;& \text{б) }y\to b-0\text{ при }x\to a-0;\\ \text{в) }y\to b-0\text{ при }x\to a+0;& \text{г) }y\to b+0\text{ при }x\to a;\\ \text{д) }y\to b+0\text{ при }x\to a-0;& \text{е) }y\to b+0\text{ при }x\to a+0;\\ \text{ж) }y\to b-0\text{ при }x\to \infty ;& \text{з) }y\to b-0\text{ при }x\to -\infty ;\\ \text{и) }y\to b-0\text{ при }x\to +\infty ;& \text{к) }y\to b+0\text{ при }x\to \infty ;\\ \text{л) }y\to b+0\text{ при }x\to -\infty ;& \text{м) }y\to b+0\text{ при }x\to +\infty \end{array}$$

Привести соответствующие примеры.