Все приведенные ниже примеры элементарно доказываются по соответствующим определениям (см. задачи 405 и 404).

Пункт а)

$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=\infty \iff \\ \iff \forall E>0\exists D=D(E)>0:\left(|x|>D\Rightarrow |f(x)|>E\right) \end{gathered}$$

Пример:

$$\underset{x\to \infty }{\lim }x=\infty$$

Пункт б)

$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=-\infty \iff \\ \iff \forall E>0\exists D=D(E)>0:\left(|x|>D\Rightarrow f(x)<-E\right) \end{gathered}$$

Пример:

$$\underset{x\to \infty }{\lim }-x^2=-\infty$$

Пункт в)

$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=+\infty \iff \\ \iff \forall E>0\exists D=D(E)>0:\left(|x|>D\Rightarrow f(x)>E\right) \end{gathered}$$

Пример:

$$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^2=+\infty$$

Пункт г)

$$\begin{gathered} \underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\infty \iff \\ \iff \forall E>0\exists D=D(E)>0:\left(x<-D\Rightarrow |f(x)|>E\right) \end{gathered}$$

Пример:

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }x=-\infty =\infty$$

Значение $-\infty$ доказывается по определению. Равенство $-\infty =\infty$ выполняется по прото-задаче П.32.

Пункт д)

$$\begin{gathered} \underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty \iff \\ \iff \forall E>0\exists D=D(E)>0:\left(x<-D\Rightarrow f(x)<-E\right) \end{gathered}$$

Подойдет пример для пункта г).

Пункт е)

$$\begin{gathered} \underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty \iff \\ \iff \forall E>0\exists D=D(E)>0:\left(x<-D\Rightarrow f(x)>E\right) \end{gathered}$$

Пример:

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^2=+\infty$$

Пункт ж)

$$\begin{gathered} \underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\infty \iff \\ \iff \forall E>0\exists D=D(E)>0:\left(x>D\Rightarrow |f(x)|>E\right) \end{gathered}$$

Пример:

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }x=+\infty =\infty$$

Значение $+\infty$ доказывается по определению. Равенство $+\infty =\infty$ выполняется по прото-задаче П.32.

Пункт з)

$$\begin{gathered} \underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=-\infty \iff \\ \iff \forall E>0\exists D=D(E)>0:\left(x>D\Rightarrow f(x)<-E\right) \end{gathered}$$

Пример:

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }-x^2=-\infty$$

Пункт и)

$$\begin{gathered} \underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty \iff \\ \iff \forall E>0\exists D=D(E)>0:\left(x>D\Rightarrow f(x)>E\right) \end{gathered}$$

Подойдет пример для пункта ж).