Задача 406 — Демидович

I§5Определение предела функции в точке

└─

Главная

└─

Задачи

└─

I. Введение в анализ

└─

§5. Предел функции

└─

Определение предела функции в точке

└─

Задача 406

Нормальная

Сформулировать с помощью неравенств следующие утверждения и привести соответствующие примеры:

$а) x \to \infty lim f (x) = \infty; в) x \to \infty lim f (x) = + \infty; д) x \to - \infty lim f (x) = - \infty; ж) x \to + \infty lim f (x) = \infty; и) x \to + \infty lim f (x) = + \infty б) x \to \infty lim f (x) = - \infty; г) x \to - \infty lim f (x) = \infty; е) x \to - \infty lim f (x) = + \infty; з) x \to + \infty lim f (x) = - \infty;$

Петр Радько

Зависимость

Указание

По сути, в задании требуется привести определения пределов функции при стремлении к $\infty, - \infty$ и $+ \infty$ , которые равны $\infty, - \infty$ и $+ \infty$ .

В качестве примеров воспользуйтесь функциями $x$ и $\pm x^{2}$ .

Для сокращения рутинной работы по доказательству примеров по определению воспользуйтесь прото-задачей П-ссылка.

Решение

Все приведенные ниже примеры элементарно доказываются по соответствующим определениям (см. задачи 405 и 404).

Пункт а)

$x \to \infty lim f (x) = \infty \Leftrightarrow \Leftrightarrow \forall E > 0 \exists D = D (E) > 0 : (∣ x ∣ > D \Rightarrow ∣ f (x) ∣ > E)$

Пример:

$x \to \infty lim x = \infty$

Пункт б)

$x \to \infty lim f (x) = - \infty \Leftrightarrow \Leftrightarrow \forall E > 0 \exists D = D (E) > 0 : (∣ x ∣ > D \Rightarrow f (x) < - E)$

Пример:

$x \to \infty lim - x^{2} = - \infty$

Пункт в)

$x \to \infty lim f (x) = + \infty \Leftrightarrow \Leftrightarrow \forall E > 0 \exists D = D (E) > 0 : (∣ x ∣ > D \Rightarrow f (x) > E)$

Пример:

$x \to \infty lim x^{2} = + \infty$

Пункт г)

$x \to - \infty lim f (x) = \infty \Leftrightarrow \Leftrightarrow \forall E > 0 \exists D = D (E) > 0 : (x < - D \Rightarrow ∣ f (x) ∣ > E)$

Пример:

$x \to - \infty lim x = - \infty = \infty$

Значение $- \infty$ доказывается по определению. Равенство $- \infty = \infty$ выполняется по прото-задаче П-ссылка.

Пункт д)

$x \to - \infty lim f (x) = - \infty \Leftrightarrow \Leftrightarrow \forall E > 0 \exists D = D (E) > 0 : (x < - D \Rightarrow f (x) < - E)$

Подойдет пример для пункта г).

Пункт е)

$x \to - \infty lim f (x) = + \infty \Leftrightarrow \Leftrightarrow \forall E > 0 \exists D = D (E) > 0 : (x < - D \Rightarrow f (x) > E)$

Пример:

$x \to - \infty lim x^{2} = + \infty$

Пункт ж)

$x \to + \infty lim f (x) = \infty \Leftrightarrow \Leftrightarrow \forall E > 0 \exists D = D (E) > 0 : (x > D \Rightarrow ∣ f (x) ∣ > E)$

Пример:

$x \to + \infty lim x = + \infty = \infty$

Значение $+ \infty$ доказывается по определению. Равенство $+ \infty = \infty$ выполняется по прото-задаче П-ссылка.

Пункт з)

$x \to + \infty lim f (x) = - \infty \Leftrightarrow \Leftrightarrow \forall E > 0 \exists D = D (E) > 0 : (x > D \Rightarrow f (x) < - E)$

Пример:

$x \to + \infty lim - x^{2} = - \infty$

Пункт и)

$x \to + \infty lim f (x) = + \infty \Leftrightarrow \Leftrightarrow \forall E > 0 \exists D = D (E) > 0 : (x > D \Rightarrow f (x) > E)$

Подойдет пример для пункта ж).

Зависимости

Задача 404

Задача 405

Отношения между бесконечностями

Связь

- \infty

+ \infty

с обычной

\infty

в значении предела, а также при стремлении к ним.

405 407