Воспользуемся свойствами модуля (см. прото-задачу П-ссылка) и найдем, чему равно $|P(x)|$:

$$|P(x)|=|a_0{x}^n|+|a_1{x}^{n-1}|+\dots +|a_n|$$

Все слагаемые положительные, поэтому выполняется такое неравенство:

$$|a_0{x}^n|\le |P(x)|$$

Запомним это неравенство. Мы воспользуемся им позднее.

Докажем теперь, что

$$\underset{x\to \infty }{\lim }|a_0{x}^n|=+\infty$$

По определению это означает, что для любой наперед заданной верхней границы $E>0$ обязательно найдется такое $D>0$, что выполняется импликация:

$$|x|>D\Rightarrow |a_0{x}^n|>E$$

Наша задача — найти такое $D$ для любого данного $E$. Преобразуем последнее неравенство с помощью свойств модуля:

$$\begin{gathered} |a_0{x}^n|>E \\ |a_0||x^n|>E \\ |x^n|>\frac{E}{|a_0|} \\ |x{|}^n>\frac{E}{|a_0|} \end{gathered}$$

$$|x|>\sqrt[n]{\frac{E}{|a_0|}}$$

Выражение справа обозначаем за $D$:

$$D=\sqrt[n]{\frac{E}{|a_0|}}$$

Тогда, какое бы $E$ нам не дали, по формуле выше мы находим $D$. Для любого $x$, который по модулю больше $D$, возвращаясь по цепочке преобразований обратно, получаем, что

$$|a_0{x}^n|>E$$

Вспоминая неравенство, которое мы вывели в начале решения, имеем:

$$|P(x)|\ge |a_0{x}^n|>E$$

$$|P(x)|>E$$

Объединяя все вместе, получаем, что

$$\forall E>0\exists D=\sqrt[n]{\frac{E}{|a_0|}}:\left(|x|>D\Rightarrow |P(x)|>E\right)$$

Это по определению означает, что

$$\underset{x\to \infty }{\lim }|P(x)|=+\infty$$

$■$