Предел многочлена

Пусть

$$P(x)=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\dots +a_n,$$

где $a_i(i=0,1,\dots ,n;n\ge 1,a_0\ne 0);$ — вещественные числа.

Доказать, что

$$\underset{x\to \infty }{\lim }|P(x)|=+\infty$$

Пусть

$$R(x)=\frac{a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\dots +a_n}{b_0{x}^m+b_1{x}^{m-1}+\dots +b_m},$$

где $a_0\ne 0$ и $b_0\ne 0$.

Доказать, что

$$\underset{x\to \infty }{\lim }R(x)=\{\begin{array}{ll}\infty ,& \text{если }n>m;\\ \frac{a_0}{b_0},& \text{если }n=m;\\ 0,& \text{если }n<m.\end{array}$$

Пусть

$$R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)},$$

где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены от $x$ и

$$P(a)=Q(a)=0.$$

Какие возможные значения имеет выражение

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{P(x)}{Q(x)}?$$

$$\text{а) }\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2-1}{2x^2-x-1};\text{б) }\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{2x^2-x-1};\text{в) }\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2-1}{2x^2-x-1}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x)(1+2x)(1+3x)-1}{x}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^5-(1+5x)}{x^2+x^5}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+mx{)}^n-(1+nx{)}^m}{x^2}(m\text{ и }n\text{ — натуральные числа })$$

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{(5x-1{)}^5}$$

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{(2x-3{)}^{20}(3x+2{)}^{30}}{(2x+1{)}^{50}}$$

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{(x+1)(x^2+1)\dots (x^n+1)}{{\left[(nx{)}^n+1\right]}^{\frac{n+1}{2}}}$$

$$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2-5x+6}{x^2-8x+15}$$

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^3-3x+2}{x^4-4x+3}$$

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^4-3x+2}{x^5-4x+3}$$

$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^3-2x^2-4x+8}{x^4-8x^2+16}$$

$$\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^3-2x-1}{x^5-2x-1}$$

$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(x^2-x-2{)}^{30}}{(x^3-12x+16{)}^{10}}$$

$$\text{а) }\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x+x^2+\dots +x^n-n}{x-1};\text{б) }\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}$$

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^m-1}{x^n-1}(m\text{ и }n\text{ — натуральные числа})$$

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{(x^n-a^n)-n{a}^{n-1}(x-a)}{(x-a{)}^2}(n\text{ — натуральное число})$$

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^{n+1}-(n+1)x+n}{(x-1{)}^2}(n\text{ — натуральное число})$$

$$\underset{x\to 1}{\lim }\left(\frac{m}{1-x^m}-\frac{n}{1-x^n}\right)(m\text{ и }n\text{ — натуральные числа})$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\left[\left(x+\frac{a}{n}\right)+\left(x+\frac{2a}{n}\right)+\dots +\left(x+\frac{(n-1)a}{n}\right)\right]$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\left[{\left(x+\frac{a}{n}\right)}^2+{\left(x+\frac{2a}{n}\right)}^2+\dots +{\left(x+\frac{(n-1)a}{n}\right)}^2\right]$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1^2+3^2+\dots +(2n-1{)}^2}{2^2+4^2+\dots +(2n{)}^2}$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1^3+2^3+\dots +n^3}{n^3}-\frac{n}{4}\right)$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1^3+4^3+7^3+\dots +(3n-2{)}^3}{[1+4+7+\dots +(3n-2){]}^2}$$

Определить площадь криволинейного треугольника $OAM$, ограниченного параболой $y=b(x/a{)}^2$, осью $Ox$ и прямой $x=a$, рассматривая ее как предел суммы площадей вписанных прямоугольников с основаниями $a/n$, где $n\to \infty$.