Ничего не нашлось!
Попробуйте переформулировать запрос.
Вы можете предложить добавить решение/материал.
Свойства подпоследовательностей

Содержимое задачи.

К решению
Задача 408
Нормальная

Пусть

где — вещественные числа.

Доказать, что

Указание

Докажите по определению предела функции в точке:

Во время доказательства воспользуйтесь тем, что . С помощью этого докажите предел в условии.

Решение

Воспользуемся свойствами модуля (см. прото-задачу П-ссылка) и найдем, чему равно :

Все слагаемые положительные, поэтому выполняется такое неравенство:

Запомним это неравенство. Мы воспользуемся им позднее.


Докажем теперь, что

По определению это означает, что для любой наперед заданной верхней границы обязательно найдется такое , что выполняется импликация:

Наша задача — найти такое для любого данного . Преобразуем последнее неравенство с помощью свойств модуля:

Выражение справа обозначаем за :

Тогда, какое бы нам не дали, по формуле выше мы находим . Для любого , который по модулю больше , возвращаясь по цепочке преобразований обратно, получаем, что

Вспоминая неравенство, которое мы вывели в начале решения, имеем:

Объединяя все вместе, получаем, что

Это по определению означает, что