Демидович
408

Пусть

где — вещественные числа.

Доказать, что

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Докажите по определению предела функции в точке:

Во время доказательства воспользуйтесь тем, что . С помощью этого докажите предел в условии.

Решение

Воспользуемся свойствами модуля (см. прото-задачу П.1) и найдем, чему равно :

Все слагаемые положительные, поэтому выполняется такое неравенство:

Запомним это неравенство. Мы воспользуемся им позднее.


Докажем теперь, что

По определению это означает, что для любой наперед заданной верхней границы обязательно найдется такое , что выполняется импликация:

Наша задача — найти такое для любого данного . Преобразуем последнее неравенство с помощью свойств модуля:

Выражение справа обозначаем за :

Тогда, какое бы нам не дали, по формуле выше мы находим . Для любого , который по модулю больше , возвращаясь по цепочке преобразований обратно, получаем, что

Вспоминая неравенство, которое мы вывели в начале решения, имеем:

Объединяя все вместе, получаем, что

Это по определению означает, что

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Свойства модуля
Самые полезные и часто требующиеся свойства модуля.