Преобразуем $R(x)$:

$$\begin{gathered} R(x)=\frac{a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\dots +a_n}{b_0{x}^m+b_1{x}^{m-1}+\dots +b_m}= \\ =\frac{x^n}{x^m}\cdot \frac{a_0+\frac{a_1}{x}+\dots +\frac{a_n}{x^n}}{b_0+\frac{b_1}{x}+\dots +\frac{b_m}{x^m}}= \end{gathered}$$

Правый множитель обозначим за $f(x)$.

$$=\frac{x^n}{x^m}f(x)=x^{n-m}f(x)$$

Итак:

$$R(x)=x^{n-m}f(x)$$

Найдем предел $f(x)$:

$$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=\frac{a_0}{b_0}$$

Итак, $f(x)$ имеет конечный предел. По прото-задаче П.30 это означает, что $f(x)$ ограничена в окрестности $\infty$.

Если $n>m$

Если $n>m$, то $p=n-m>0$. Тогда $x^p\to \infty$ при $x\to \infty$ (см. прото-задачу П.28).

Так как $f(x)$ стремится к ненулевому числу, то существует окрестность $\infty$, в которой $f(x)$ не равна $0$.

Тогда по прото-задаче П.25

$$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^{p}f(x)=\infty \cdot f(x)=\infty$$

Итак:

$$\underset{x\to \infty }{\lim }R(x)=\infty$$

$■$

Если $n=m$

Если $n=m$, то $n-m=0$. Тогда

$$R(x)=x^{0}f(x)=f(x)$$

Значит:

$$\underset{x\to \infty }{\lim }R(x)=\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=\frac{a_0}{b_0}$$

$■$

Если $n<m$

Если $n<m$, то $p=n-m<0$. Тогда $x^p\to 0$ при $x\to \infty$ (см. прото-задачу П.28).

Тогда по прото-задаче П.25

$$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^{p}f(x)=0\cdot f(x)=0$$

$■$