Раз предел стремится к $2$, можно предположить, что $x=2$ является корнем уравений в числителе и знаменателе. С помощью деления многочленов уголком найдем кратность этого корня в числителе и знаменателе:

$$x^3-2x^2-4x+8=(x-2{)}^2(x+2)$$

$$x^4-8x^2+16=(x-2{)}^2(x^2+4x+4)$$

Замечаем, что для многочленов в правых скобках $2$ уже не является корнем. Теперь можно найти предел с помощью арифметических свойств пределов и предела многочлена из П-ссылка:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^3-2x^2-4x+8}{x^4-8x^2+16}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(x-2{)}^2(x+2)}{(x-2{)}^2(x^2+4x4)}= \\ =\frac{2+2}{4+8+4}=\frac{1}{4} \end{gathered}$$