Раз предел стремится к $1$, можно предположить, что $x=1$ является корнем уравений в числителе и знаменателе. Пользуясь этим поделим уголком числитель и знаменатель на $(x-1)$:

$$x^4-3x+2=(x-1)(x^3+x^2+x-2)$$

$$x^5-4x+3=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x-3)$$

Замечаем, что для многочленов в правых скобках $1$ уже не является корнем. Теперь можно найти предел с помощью арифметических свойств пределов и предела многочлена из П-ссылка:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^4-3x+2}{x^5-4x+3}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x-1)(x^3+x^2+x-2)}{(x-1)(x^4+x^3+x^2+x-3)}= \\ =\frac{1+1+1-2}{1+1+1+1-3}=1 \end{gathered}$$