Воспользуемся равенством из прото-задачи П-ссылка:

$$x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\dots +1)$$

Воспользуемся им для числителя и знаменателя и, с помощью арифметических свойств пределов и предела многочлена из П-ссылка, найдем значение предела:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^m-1}{x^n-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x-1)(x^{m-1}+x^{m-2}+\dots +1)}{(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\dots +1)}= \\ =\frac{\stackrel{m\text{ раз}}{\overbrace{1+1+1+\dots }}}{\underset{n\text{ раз}}{\underbrace{1+1+1+\dots }}}=\frac{m}{n} \end{gathered}$$