Задача 43 — Демидович

имеют бесконечный предел при $n \to \infty$ (т.е. являются бесконечно большими), определив для всякого $E > 0$ число $N = N (E)$ такое, что $∣ x_{n} ∣ > E$ при $n > N$ .

Для каждого из этих случаев заполнить следующую таблицу: $E N 10100100010000 \dots$

Ответ

Пункт а)

$E N 1010100100100010001000010000 \dots$

Пункт б)

$E N 101210045100010010000177 \dots$

Пункт в)

$E N 10 1 0^{1 0^{10}} 100 1 0^{1 0^{100}} 1000 1 0^{1 0^{1000}} 10000 1 0^{1 0^{10000}} \dots$

Петр Радько

Указание

Для каждого пункта подставить формулу для $x_{n}$ в неравенство $∣ x_{n} ∣ > E$ .

Решить полученное неравенство относительно $n$ . Полученное неравенство относительно $n$ и будет условием выбора натуральных чисел $N$ .

Решение

Нужный ход действий указан прямо в условии. Нам нужно для произвольного $E > 0$ подобрать такое натуральное $N$ , чтобы для любого $n > N$ выполнялось следующее неравенство:

$∣ x_{n} ∣ > E$

Пункт а)

$∣ x_{n} = (- 1)^{n} n ∣ > E$

Воспользуемся свойством модуля для произведения чтобы упростить выражение выше (см. прото-задачу П-ссылка):

$∣ (- 1)^{n} n ∣ = ∣ (- 1)^{n} ∣ n$

Левый множитель можно разложить по тому же свойству: $∣ (- 1)^{n} ∣ = ∣ - 1∣∣ - 1∣ \dots = 1$ :

$∣ (- 1)^{n} ∣ n = n$

Значит, неравенство в условии превращается в элементарное:

$n > E$

Какое бы $E > 0$ мы не взяли, нам достаточно взять любое число, большее его самого и тогда требуемое по условию неравенство выше будет выполняться.

Но нам нужно не любое число, а натуральное, поэтому выбирать $N$ будем по следующей формуле:

$N (E) = ⌈ E ⌉$

По этой формуле мы получаем округление сверху («потолок») числа $E$ . Из определения «потолка» числа:

$E \leq ⌈ E ⌉$

Так как в условии у нас $n > N (E)$ , то следующее натуральное число после $N (E)$ будет $N (E) + 1$ :

$n \geq N (E) + 1 > N (E) = ⌈ E ⌉ \geq E$

$n > E$

Итак, мы показали, что любые натуральные $n > N (E)$ удовлетворяют требуемому по условию неравенству выше.

Начнем заполнять таблицу:

$N (10) = ⌈ 10 ⌉ = 10$

$N (100) = ⌈ 100 ⌉ = 100$

$N (1000) = ⌈ 1000 ⌉ = 1000$

$N (10000) = ⌈ 10000 ⌉ = 10000$

Итоговая таблица:

$E N 1010100100100010001000010000 \dots$

Пункт б)

$∣ ∣ x_{n} = 2^{n} ∣ ∣ > E$

От модуля можно избавиться, так как выражение внутри него всегда положительное:

$2^{n} > E$

Прологарифмируем это неравенство по основанию $2$ :

$n > lo g_{2} E$

Возведем обе части в квадрат:

$n > (lo g_{2} E)^{2}$

Какое бы $E > 0$ мы не взяли, нам достаточно взять любое число, большее $(lo g_{2} E)^{2}$ и тогда требуемое по условию неравенство выше будет выполняться.

Но нам нужно не любое число, а натуральное, поэтому выбирать $N$ будем по следующей формуле:

$N (E) = ⌈ (lo g_{2} E)^{2} ⌉$

Проверка того, что любое натуральное $n > N (E)$ действительно будет удовлетворять неравенству в условии выполняется так же, как в пункте а).

Начнем заполнять таблицу:

$N (10) = ⌈ (lo g_{2} 10)^{2} ⌉ = ⌈ 11.03 \dots ⌉ = 12$

$N (100) = ⌈ (lo g_{2} 100)^{2} ⌉ = ⌈ 44.14 \dots ⌉ = 45$

$N (1000) = ⌈ (lo g_{2} 1000)^{2} ⌉ = ⌈ 99.31 \dots ⌉ = 100$

$N (10000) = ⌈ (lo g_{2} 10000)^{2} ⌉ = ⌈ 176.56 \dots ⌉ = 177$

Итоговая таблица:

$E N 101210045100010010000177 \dots$

Пункт в)

$∣ x_{n} = l g (l g n) ∣ > E$

Воспользуемся свойством модуля (см. прото-задачу П-ссылка):

$∣ a ∣ \geq a$

Применяем его и получаем следующее цепное неравенство:

$∣ l g (l g n) ∣ \geq l g (l g n) > E$

Если мы сможем найти формулу для $n$ , чтобы выполнялось неравенство:

$l g (l g n) > E,$

то тем более (согласно цепному неравенству) будет выполняться и

$∣ l g (l g n) ∣ > E$

Итак, работаем с

$l g (l g n) > E$

Преобразуем это неравенство:

$l g (l g n) > E \Leftrightarrow 1 0^{l g (l g n)} > 1 0^{E} \Leftrightarrow l g n > 1 0^{E}$

$l g n > 1 0^{E} \Leftrightarrow 1 0^{l g n} > 1 0^{1 0^{E}} \Leftrightarrow n > 1 0^{1 0^{E}}$

Какое бы $E > 0$ мы не взяли, нам достаточно взять любое число, большее $1 0^{1 0^{E}}$ и тогда неравенство $l g (l g n) > E$ будет выполняться, а значит будет выполняться и $∣ l g (l g n) ∣ > E$ .

Но нам нужно не любое число, а натуральное, поэтому выбирать $N$ будем по следующей формуле:

$N (E) = ⌈ 1 0^{1 0^{E}} ⌉$

Начнем заполнять таблицу:

$N (10) = ⌈ 1 0^{1 0^{10}} ⌉ = 1 0^{1 0^{10}}$

$N (100) = ⌈ 1 0^{1 0^{100}} ⌉ = 1 0^{1 0^{100}}$

$N (1000) = ⌈ 1 0^{1 0^{1000}} ⌉ = 1 0^{1 0^{1000}}$

$N (10000) = ⌈ 1 0^{1 0^{10000}} ⌉ = 1 0^{1 0^{10000}}$

Итоговая таблица:

$E N 10 1 0^{1 0^{10}} 100 1 0^{1 0^{100}} 1000 1 0^{1 0^{1000}} 10000 1 0^{1 0^{10000}} \dots$

Зависимости

Свойства модуля

Самые полезные и часто требующиеся свойства модуля.

42 44