Демидович
43

Доказать, что последовательности:

имеют бесконечный предел при (т.е. являются бесконечно большими), определив для всякого число такое, что при .

Для каждого из этих случаев заполнить следующую таблицу:

Ответ

Пункт а)

Пункт б)

Пункт в)

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Для каждого пункта подставить формулу для в неравенство .

Решить полученное неравенство относительно . Полученное неравенство относительно и будет условием выбора натуральных чисел .

Решение

Нужный ход действий указан прямо в условии. Нам нужно для произвольного подобрать такое натуральное , чтобы для любого выполнялось следующее неравенство:

Пункт а)

Воспользуемся свойством модуля для произведения чтобы упростить выражение выше (см. прото-задачу П.1):

Левый множитель можно разложить по тому же свойству: :

Значит, неравенство в условии превращается в элементарное:

Какое бы мы не взяли, нам достаточно взять любое число, большее его самого и тогда требуемое по условию неравенство выше будет выполняться.

Но нам нужно не любое число, а натуральное, поэтому выбирать будем по следующей формуле:

По этой формуле мы получаем округление сверху ("потолок") числа . Из определения "потолка" числа:

Так как в условии у нас , то следующее натуральное число после будет :

Итак, мы показали, что любые натуральные удовлетворяют требуемому по условию неравенству выше.

Начнем заполнять таблицу:

Итоговая таблица:

Пункт б)

От модуля можно избавиться, так как выражение внутри него всегда положительное:

Прологарифмируем это неравенство по основанию :

Возведем обе части в квадрат:

Какое бы мы не взяли, нам достаточно взять любое число, большее и тогда требуемое по условию неравенство выше будет выполняться.

Но нам нужно не любое число, а натуральное, поэтому выбирать будем по следующей формуле:

Проверка того, что любое натуральное действительно будет удовлетворять неравенству в условии выполняется так же, как в пункте а).

Начнем заполнять таблицу:

Итоговая таблица:

Пункт в)

Воспользуемся свойством модуля (см. прото-задачу П.1):

Применяем его и получаем следующее цепное неравенство:

Если мы сможем найти формулу для , чтобы выполнялось неравенство:

то тем более (согласно цепному неравенству) будет выполняться и

Итак, работаем с

Преобразуем это неравенство:

Какое бы мы не взяли, нам достаточно взять любое число, большее и тогда неравенство будет выполняться, а значит будет выполняться и .

Но нам нужно не любое число, а натуральное, поэтому выбирать будем по следующей формуле:

Проверка того, что любое натуральное действительно будет удовлетворять неравенству в условии выполняется так же, как в пункте а).

Начнем заполнять таблицу:

Итоговая таблица:

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Свойства модуля
Самые полезные и часто требующиеся свойства модуля.