С помощью формулы разности квадратов избавимся от иррациональности в числителе:

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt{1-2x-x^2}-(1+x)}{x}= \\ =\frac{\sqrt{1-2x-x^2}-(1+x)}{x}\cdot \frac{\sqrt{1-2x-x^2}+(1+x)}{\sqrt{1-2x-x^2}+(1+x)}= \\ =\frac{1-2x-x^2-(1+x{)}^2}{x\left[\sqrt{1-2x-x^2}+(1+x)\right]}= \\ =-\frac{2(x+2)}{\sqrt{1-2x-x^2}+(1+x)} \end{gathered}$$

Найдем теперь значение предела, используя предел степенной функции (П-ссылка), предел многочлена (П-ссылка), а также теорему о пределе сложной функции:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }-\frac{2(x+2)}{\sqrt{1-2x-x^2}+(1+x)}= \\ =-\frac{2\underset{x\to 0}{\lim }(x+2)}{\sqrt{\underset{x\to 0}{\lim }(1-2x-x^2)}+\underset{x\to 0}{\lim }(1+x)}= \\ =-\frac{4}{1+1}=-2 \end{gathered}$$