С помощью формулы разности кубов избавимся от иррациональности в числителе:

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt[3]{8+3x-x^2}-2}{x+x^2}= \\ =\frac{\sqrt[3]{8+3x-x^2}-2}{x+x^2}\cdot \frac{{\sqrt[3]{8+3x-x^2}}^2+2\sqrt[3]{8+3x-x^2}+4}{{\sqrt[3]{8+3x-x^2}}^2+2\sqrt[3]{8+3x-x^2}+4}= \\ =\frac{8+3x-x^2-8}{(x+x^2)({\sqrt[3]{8+3x-x^2}}^2+2\sqrt[3]{8+3x-x^2}+4)}= \\ =\frac{3-x}{(1+x)({\sqrt[3]{8+3x-x^2}}^2+2\sqrt[3]{8+3x-x^2}+4)} \end{gathered}$$

Теперь найдем значение предела, используя его арифметические свойства, предел степенной функции (П-ссылка), а также теорему о пределе сложной функции (П-ссылка):

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{3-x}{(1+x)({\sqrt[3]{8+3x-x^2}}^2+2\sqrt[3]{8+3x-x^2}+4)}= \\ =\frac{3-0}{(1+0)({\sqrt[3]{8+0-0}}^2)+2\sqrt[3]{8+3-0}+4}= \\ =\frac{3}{4+4+4}=\frac{1}{4} \end{gathered}$$