Пункт а)

$$\begin{gathered} \underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt[m]{x}-1}{\sqrt[n]{x}-1}=\left|\begin{array}{c}y=x-1\\ \underset{x\to 1}{\lim }y(x)=0\\ y\to 0\end{array}\right|=\underset{y\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[m]{y+1}-1}{\sqrt[n]{y+1}-1}\cdot \frac{y}{y}= \\ =\underset{y\to 0}{\lim }\frac{\frac{\sqrt[m]{y+1}-1}{y}}{\frac{\sqrt[n]{y+1}-1}{y}}=\frac{n}{m} \end{gathered}$$

Выше мы воспользовались теоремой о пределе сложной функции (П-ссылка), а также предыдущей задачей 454.

Пункт б)

Конечного предела в пункте б) нет. Скорее всего, в его условии содержится опечатка.

$$\begin{gathered} \underset{x\to 1}{\lim }\left(\frac{3}{1-\sqrt{x}}-\frac{3}{1-\sqrt[3]{x}}\right)=\underset{x\to 1}{\lim }3\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right)= \\ =\left|\begin{array}{c}y=x-1\\ \underset{x\to 1}{\lim }y(x)=0\\ y\to 0\end{array}\right|=\underset{y\to 0}{\lim }3\left(\frac{1}{(\sqrt[3]{y+1}-1)\cdot \frac{y}{y}}-\frac{1}{(\sqrt{y+1}-1)\cdot \frac{y}{y}}\right)= \\ =\underset{y\to 0}{\lim }3\left(\frac{1}{\frac{\sqrt[3]{y+1}-1}{y}y}-\frac{1}{\frac{\sqrt{y+1}-1}{y}y}\right)= \\ =\underset{y\to 0}{\lim }\frac{3}{y}\left(\frac{1}{\frac{\sqrt[3]{y+1}-1}{y}}-\frac{1}{\frac{\sqrt{y+1}-1}{y}}\right) \end{gathered}$$

Разберемся, почему конечного предела тут нет.

Функция $\frac{3}{y}$ стремится к бесконечности (см. прото-задачу П-ссылка).

Функция в скобках имеет конечный ненулевой предел (по задаче 454). Раз она имеет конечный ненулевой предел, то существует окрестность $0$, в которой она не равна $0$.

Значит, по прото-задаче П-ссылка получаем ситуацию $\infty \cdot f(x)$, которая равна $\infty$:

$$\underset{x\to 1}{\lim }\left(\frac{3}{1-\sqrt{x}}-\frac{3}{1-\sqrt[3]{x}}\right)=\infty$$

Ставим единицу вместо $x$:

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt[m]{x}-1}{\sqrt[n]{x}-1}=\frac{\sqrt[m]{1}-1}{\sqrt[n]{1}-1}=\frac{0}{0}$$

Получили неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Воспользуемся правилом Лопиталя.

Найдем производную числителя и знаменателя:

$$(\sqrt[m]{x}-1{)}^{\prime }=\frac{1}{m}\cdot x^{\frac{1}{m}-1}$$

$$(\sqrt[n]{x}-1{)}^{\prime }=\frac{1}{n}\cdot x^{\frac{1}{n}-1}$$

Найдем предел отношения найденных производных, пользуясь пределом степенной функции (П-ссылка).

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\frac{1}{m}{x}^{\frac{1}{m}-1}}{\frac{1}{n}{x}^{\frac{1}{n}-1}}=\frac{n}{m}\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1^{\frac{1}{m}-1}}{1^{\frac{1}{n}-1}}=\frac{n}{m}$$