Вынесем $-1$ в соответствующей степени из числителя и знаменателя, и разобьем выражение на произведение дробей:

$$\begin{gathered} \frac{(1-\sqrt[2]{x})(1-\sqrt[3]{x})\dots (1-\sqrt[n]{x})}{(1-x{)}^{n-1}}= \\ =\frac{(-1{)}^{n-1}(\sqrt[2]{x}-1)(\sqrt[3]{x}-1)\dots (\sqrt[n]{x}-1)}{(-1{)}^{n-1}(x-1{)}^{n-1}}= \\ =\frac{\sqrt[2]{x}-1}{x-1}\cdot \frac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1}\cdot \dots \cdot \frac{\sqrt[n]{x}-1}{x-1} \end{gathered}$$

Найдем теперь предел, пользуясь его арифметическими свойствами, теоремой о пределе сложной функции (П-ссылка), а также задачей 454:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt[2]{x}-1}{x-1}\cdot \frac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1}\cdot \dots \cdot \frac{\sqrt[n]{x}-1}{x-1}=\left|\begin{array}{c}y=x-1\\ \underset{x\to 1}{\lim }y(x)=0\\ y\to 0\end{array}\right|= \\ =\underset{y\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[2]{y+1}-1}{y}\cdot \underset{y\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[3]{y+1}-1}{y}\cdot \dots \cdot \underset{y\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[n]{y+1}-1}{y}= \\ =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \dots \cdot \frac{1}{n}=\frac{1}{n!} \end{gathered}$$