Вынесем $x$ из обоих слагаемых:

$$\begin{gathered} \sqrt[3]{x^3+3x^2}-\sqrt{x^2-2x}=x\left[{\left(1+\frac{3}{x}\right)}^{\frac{1}{3}}-{\left(1-\frac{2}{x}\right)}^{\frac{1}{2}}\right]= \\ =x\left[{\left[{\left(1+\frac{3}{x}\right)}^2\right]}^{\frac{1}{6}}-{\left[{\left(1-\frac{2}{x}\right)}^3\right]}^{\frac{1}{6}}\right] \end{gathered}$$

Избавимся от иррациональности с помощью равенства из прото-задачи П-ссылка:

$$\frac{x\left[{\left(1+\frac{3}{x}\right)}^2-{\left(1-\frac{2}{x}\right)}^3\right]}{{\left(1+\frac{3}{x}\right)}^{\frac{5}{6}}+\dots +{\left(1-\frac{2}{x}\right)}^{\frac{5}{6}}}$$

В знаменателе имеем 6 слагаемых, причем каждое из них по отдельности стремится к $1$ (по прото-задачам П-ссылка, П-ссылка и П-ссылка). Поэтому сразу запишем, чему равен предел знаменателя:

$$\begin{gathered} \underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(1+\frac{3}{x}\right)}^{\frac{5}{6}}+\dots +{\left(1-\frac{2}{x}\right)}^{\frac{5}{6}}= \\ =(1+0{)}^{\frac{5}{6}}+\dots +(1-0{)}^{\frac{5}{6}}=1+\dots +1=6 \end{gathered}$$

Теперь разберемся с числителем:

$$\begin{gathered} x\left[{\left(1+\frac{3}{x}\right)}^2-{\left(1-\frac{2}{x}\right)}^3\right]= \\ =x\left[1+\frac{6}{x}+\frac{9}{x^2}-1+\frac{6}{x}-\frac{12}{x^2}+\frac{8}{x^3}\right]=12-\frac{3}{x}+\frac{8}{x^2} \end{gathered}$$

Предел числителя:

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }12-\frac{3}{x}+\frac{8}{x^2}=12-0+0=12$$

Объединяем оба полученных результата вместе и получаем, что

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}-\sqrt{x^2-2x}\right)=\frac{12}{6}=2$$