Вынесем $x$ из обеих слагаемых в квадратных скобках:

$$\begin{gathered} x^{\frac{1}{3}}\left[(x+1{)}^{\frac{2}{3}}-(x-1{)}^{\frac{2}{3}}\right]=x^{\frac{1}{3}}\left[x^{\frac{2}{3}}\left[{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{\frac{2}{3}}-{\left(1-\frac{1}{x}\right)}^{\frac{2}{3}}\right]\right]= \\ =x\left[{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{\frac{2}{3}}-{\left(1-\frac{1}{x}\right)}^{\frac{2}{3}}\right]=\dots \end{gathered}$$

Избавимся от иррациональности с помощью формулы разности кубов:

$$\dots =\frac{x\left[{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^2-{\left(1-\frac{1}{x}\right)}^2\right]}{{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{\frac{2}{3}}+{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{\frac{1}{3}}{\left(1-\frac{1}{x}\right)}^{\frac{1}{3}}+{\left(1-\frac{1}{x}\right)}^{\frac{2}{3}}}$$

В знаменателе имеем 3 слагаемых, причем каждое из них по отдельности стремится к $1$ (по прото-задачам П-ссылка, П-ссылка и П-ссылка). Поэтому сразу запишем, чему равен предел знаменателя:

$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{\frac{2}{3}}+{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{\frac{1}{3}}{\left(1-\frac{1}{x}\right)}^{\frac{1}{3}}+{\left(1-\frac{1}{x}\right)}^{\frac{2}{3}}= \\ =(1+0{)}^{\frac{2}{3}}+(1+0{)}^{\frac{1}{3}}(1-0{)}^{\frac{1}{3}}+(1-0{)}^{\frac{2}{3}}=1+1+1=3 \end{gathered}$$

Теперь разберемся с числителем:

$$\begin{gathered} x\left[{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^2-{\left(1-\frac{1}{x}\right)}^2\right]= \\ =x\left[1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}-1+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}\right]=4 \end{gathered}$$

Объединяем оба полученных результата вместе и получаем, что

$$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^{\frac{1}{3}}\left[(x+1{)}^{\frac{2}{3}}-(x-1{)}^{\frac{2}{3}}\right]=\frac{4}{3}$$