Вынесем $\sqrt{x}$ из трех слагаемых в скобках:

$$\begin{gathered} x^{\frac{3}{2}}\left(\sqrt{x+2}-2\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)= \\ =x^{\frac{3}{2}}\left[x^{\frac{1}{2}}\left(\sqrt{1+\frac{2}{x}}-2\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1\right)\right]= \\ =x^2\left[\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1-2\sqrt{1+\frac{1}{x}}\right]=\dots \end{gathered}$$

С помощью формулы разности квадратов частично избавимся от иррациональности:

$$\dots =\frac{x^2\left[{\left(\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1\right)}^2-4\left(1+\frac{1}{x}\right)\right]}{\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1+2\sqrt{1+\frac{1}{x}}}$$

Сразу найдем предел знаменателя, используя арифметические свойства пределов, элементарные пределы (П-ссылка), предел степенной функции (П-ссылка) и теорему о пределе сложной функции (П-ссылка):

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1+2\sqrt{1+\frac{1}{x}}=\sqrt{1+0}+1+2\sqrt{1+0}=4$$

Запомним этот результат и продолжим работать с числителем:

$$\begin{gathered} x^2\left[{\left(\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1\right)}^2-4\left(1+\frac{1}{x}\right)\right]= \\ =x^2\left[1+\frac{2}{x}+2\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1-4-\frac{4}{x}\right]= \\ =x^2\left[2\sqrt{1+\frac{2}{x}}-\left(2+\frac{2}{x}\right)\right]=2x^2\left[\sqrt{1+\frac{2}{x}}-\left(1+\frac{1}{x}\right)\right] \end{gathered}$$

Вновь избавимся от иррациональности с помощью разности квадратов:

$$\begin{gathered} 2x^2\left[\sqrt{1+\frac{2}{x}}-\left(1+\frac{1}{x}\right)\right]= \\ =\frac{2x^2\left[1+\frac{2}{x}-{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^2\right]}{\sqrt{1+\frac{2}{x}}+\left(1+\frac{1}{x}\right)}=\frac{2x^2\left[1+\frac{2}{x}-1-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}\right]}{\sqrt{1+\frac{2}{x}}+\left(1+\frac{1}{x}\right)}= \\ =\frac{-2}{\sqrt{1+\frac{2}{x}}+\left(1+\frac{1}{x}\right)} \end{gathered}$$

Найдем предел этого выражения:

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-2}{\sqrt{1+\frac{2}{x}}+\left(1+\frac{1}{x}\right)}=\frac{-2}{\sqrt{1+0}+1+0}=-1$$

Объединяем все полученные результаты и получаем, что

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^{\frac{3}{2}}\left(\sqrt{x+2}-2\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)=-\frac{1}{4}$$