x→+∞lim[n(x+a1)…(x+an)−x]
465
Указание
Воспользуйтесь равенством из прото-задачи П.4.
Решение
Заметим, что под корнем степени имеем множителей. Из каждого множителя вынесем . Это позволит нам вынести целиком из всего выражения:
Воспользуемся равенством из прото-задачи П.4, чтобы избавиться от иррациональности:
Найдем предел знаменателя, пользуясь арифметическими свойствами предела, элементарными пределами (П.28), пределом степенной функци (П.29) и теоремой о пределе сложной функции (П.27):
Запомним этот результат. Теперь разберемся с числителем:
Внутри квадратных скобок имеем произведение множителей. Нам не нужно раскрывать все произведение целиком. Достаточно только заметить, что в результате мы точно получим , а также дробей вида . Все остальные члены будут иметь в знаменателе в степени от до :
Найдем предел этого выражения:
Объединяем полученные пределы числителя и знаменателя вместе:
Не разобрались?
СпроситьВсе поняли?
ПоддержатьПрото-задачи
Разность степеней через произведение
Возможность записать разность двух чисел с одинаковыми показателями степени в виде произведения двух удобных скобок.
Предел сложной функции
Удобная формула для вычисления пределов с помощью замены переменной.
Элементарные пределы
Пределы функций, к которым сводятся множество задач.
Предел степенной функции
Доказательство значений предела степенной функции при различных стремлениях аргумента.