465 | Демидович. Решения

Заметим, что под корнем степени $n$ имеем $n$ множителей. Из каждого множителя вынесем $x$ . Это позволит нам вынести $x$ целиком из всего выражения:

$n (x + a_{1}) \dots (x + a_{n}) - x = = n x^{n} (1 + \frac{a _{1}}{x}) \dots (1 + \frac{a _{n}}{x}) - x = = x [n (1 + \frac{a _{1}}{x}) \dots (1 + \frac{a _{n}}{x}) - 1]$

Воспользуемся равенством из прото-задачи П.4, чтобы избавиться от иррациональности:

$\frac{x [ ( 1 + \frac{a _{1}}{x} ) \dots ( 1 + \frac{a _{n}}{x} ) - 1 ]}{[ ( 1 + \frac{a _{1}}{x} ) \dots ( 1 + \frac{a _{n}}{x} ) ] ^{\frac{n - 1}{n}} + \dots + 1}$

Найдем предел знаменателя, пользуясь арифметическими свойствами предела, элементарными пределами (П.28), пределом степенной функци (П.29) и теоремой о пределе сложной функции (П.27):

$x \to + \infty lim [(1 + \frac{a _{1}}{x}) \dots (1 + \frac{a _{n}}{x})]^{\frac{n - 1}{n}} + \dots + 1 = = [(1 + 0) \dots (1 + 0)]^{\frac{n - 1}{n}} + \dots + 1 = 1 + \dots + 1 = n$

Запомним этот результат. Теперь разберемся с числителем:

$x [(1 + \frac{a _{1}}{x}) \dots (1 + \frac{a _{n}}{x}) - 1] = \dots$

Внутри квадратных скобок имеем произведение $n$ множителей. Нам не нужно раскрывать все произведение целиком. Достаточно только заметить, что в результате мы точно получим $1$ , а также $n$ дробей вида $\frac{a _{i}}{x}$ . Все остальные члены будут иметь в знаменателе $x$ в степени от $2$ до $n$ :

$\dots = x [1 + \frac{a _{1}}{x} + \frac{a _{2}}{x} + \dots + \frac{a _{n}}{x} + \frac{a _{1} a _{2}}{x ^{2}} + \dots + - 1] = = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} + \frac{a _{1} a _{2}}{x} + \dots$

Найдем предел этого выражения:

$x \to + \infty lim a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} + \frac{a _{1} a _{2}}{x} + \dots = = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} + 0 + 0 + \dots = = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$

Объединяем полученные пределы числителя и знаменателя вместе:

$x \to + \infty lim [n (x + a_{1}) \dots (x + a_{n}) - x] = \frac{a _{1} + \dots + a _{n}}{n}$