Поработаем над данной в условии последовательностью:

$$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$$

Домножим ее на такую дробь, чтобы получить разность квадратов:

$$(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\cdot \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$$

При этом сама последовательность не меняется, так как в сущности мы домножили ее на $1$.

$$(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\cdot \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$$

Итак:

$$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$$

Теперь докажем следующее неравенство:

$$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\stackrel{\text{?}}{<}\frac{1}{\sqrt{n}}$$

Умножаем обе части на $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$:

$$1\stackrel{\text{?}}{<}\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}}+1$$

Вычитаем из обеих частей $1$ и получаем очевидное неравенство (так как правая часть всегда положительна):

$$0<\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}}$$

Итак, мы доказали, что:

$$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<\frac{1}{\sqrt{n}}$$

Значит, нашу последовательность из условия можно «зажать»:

$$0<\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<\frac{1}{\sqrt{n}}$$

Предел $0$ при $n\to \infty$ равен $0$. Предел $\frac{1}{\sqrt{n}}$ тоже равен $0$ (см. прото-задачу П-ссылка).

По теореме о двух милиционерах это означает, что и «зажатая» последовательность из условия тоже стремится к $0$:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=0$$