Демидович
47

Предполагая, что пробегает натуральный ряд чисел, определить значения следующих выражений:

Ответ

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Домножить формулу последовательности на

Полученную измененную формулу ограничить сверху последовательностью , которая стремится к (см. прото-задачу П.10).

Решение

Поработаем над данной в условии последовательностью:

Домножим ее на такую дробь, чтобы получить разность квадратов:

При этом сама последовательность не меняется, так как в сущности мы домножили ее на .

Итак:

Теперь докажем следующее неравенство:

Умножаем обе части на :

Вычитаем из обеих частей и получаем очевидное неравенство (так как правая часть всегда положительна):

Итак, мы доказали, что:

Значит, нашу последовательность из условия можно "зажать":

Предел при равен . Предел тоже равен (см. прото-задачу П.10).

По теореме о двух милиционерах это означает, что и "зажатая" последовательность из условия тоже стремится к :

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Элементарные пределы последовательностей
Пределы последовательностей, к которым сводятся множество задач.