Воспользуемся первым замечательным пределом (П-ссылка), а также теоремой о пределе сложной функции (П-ссылка):

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 5x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{5\sin 5x}{5x}= \\ =\left|\begin{array}{c}y=5x\\ \underset{x\to 0}{\lim }y(x)=\underset{x\to 0}{\lim }5x=5\cdot 0=0\\ y\to 0\end{array}\right|= \\ =\underset{y\to 0}{\lim }\frac{5\sin y}{y}=5\cdot 1=5 \end{gathered}$$