Распишем тангенс по определению и сократим на $\sin x$:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{tg}x-\sin x}{{\sin }^{3}x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x}{{\sin }^{3}x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{\cos x{\sin }^{2}x}=\dots$$

В знаменателе разложим синус через основное тригонометрическое тождество:

$$\dots =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{\cos x(1-{\cos }^{2}x)}=\dots$$

Разложим скобку по формуле разности квадратов

$$\dots =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{\cos x(1-\cos x)(1+\cos x)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{\cos x(1+\cos x)}=\dots$$

Воспользуемся арифметическими свойствами пределов, а также непрерывностью косинуса (П-ссылка):

$$\dots =\frac{1}{\underset{x\to 0}{\lim }\cos x\cdot \left(1+\underset{x\to 0}{\lim }\cos x\right)}=\frac{1}{1\cdot (1+1)}=\frac{1}{2}$$