Задача 476 — Демидович

Новый проект на основе наработок этого сайта.

Понятная теория, конспекты и задачник в одном сайте!

└─

└─

└─

└─

└─

└─

Нормальная

Найти пределы:

$x \to 0 lim \frac{sin 5 x - sin 3 x}{sin x}$

Ответ

$2$

Указание

Используйте формулу разности синусов:

$sin α - sin β = 2 sin (\frac{α - β}{2}) cos (\frac{α + β}{2})$

Решение

$x \to 0 lim \frac{sin 5 x - sin 3 x}{sin x} = \dots$

Используем в числителе формулу разности синусов:

$sin α - sin β = 2 sin (\frac{α - β}{2}) cos (\frac{α + β}{2})$

$\dots = x \to 0 lim \frac{2 sin x cos 4 x}{sin x} = x \to 0 lim 2 cos 4 x = \dots$

Заменим переменную по теореме о пределе сложной функции (П-ссылка), а затем воспользуемся непрерывностью косинуса (П-ссылка):

$\dots = ∣ ∣ y = 4 x y \to 0 ∣ ∣ = y \to 0 lim 2 cos y = 2 \cdot 1 = 2$

Зависимости