$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 5x-\sin 3x}{\sin x}=\dots$$

Используем в числителе формулу разности синусов:

$$\sin \alpha -\sin \beta =2\sin \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)$$

$$\dots =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2\sin x\cos 4x}{\sin x}=\underset{x\to 0}{\lim }2\cos 4x=\dots$$

Заменим переменную по теореме о пределе сложной функции (П-ссылка), а затем воспользуемся непрерывностью косинуса (П-ссылка):

$$\dots =\left|\begin{array}{c}y=4x\\ y\to 0\end{array}\right|=\underset{y\to 0}{\lim }2\cos y=2\cdot 1=2$$