$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x-\cos 3x}{x^2}=\dots$$

В числителе используем формулу разности косинусов, а также нечетность синуса:

$$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)\sin \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)$$

$$\dots =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-2\sin (2x)\sin (-x)}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2\sin (2x)\sin (x)}{x^2}=\dots$$

Разделим это предел на два. В первом сначала заменим переменную по теореме о пределе сложной функции (П.27). Затем в обеих частях воспользуемся первым замечательным пределом (П.39):

$$\begin{gathered} \dots =\underset{x\to 0}{\lim }2\cdot \frac{\sin (2x)}{2x\cdot \frac{1}{2}}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=\left|\begin{array}{c}y=2x\\ y\to 0\end{array}\right|= \\ =4\underset{y\to 0}{\lim }\frac{\sin y}{y}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=4 \end{gathered}$$