$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1+\sin x-\cos x}{1+\sin px-\cos px}=\dots$$

Воспользуемся формулой двойного угла косинуса:

$$\cos (2\alpha )=2{\cos }^2(\alpha )-1=1-2{\sin }^2(\alpha )$$

$$\dots =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x+1-1+2{\sin }^2\left(\frac{x}{2}\right)}{\sin px+1-1+2{\sin }^2\left(\frac{px}{2}\right)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2{\sin }^2\left(\frac{x}{2}\right)+\sin x}{2{\sin }^2\left(\frac{px}{2}\right)+\sin px}=\dots$$

Каждое слагаемое приведем к такому виду, чтобы было удобно использовать первый замечательный предел (П-ссылка) вместе с теоремой о пределе сложной функции (П-ссылка):

$$\begin{gathered} \dots =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2{\left(\frac{x}{2}\right)}^2\frac{{\sin }^2\left(\frac{x}{2}\right)}{{\left(\frac{x}{2}\right)}^2}+x\frac{\sin x}{x}}{2{\left(\frac{px}{2}\right)}^2\frac{{\sin }^2\left(\frac{px}{2}\right)}{{\left(\frac{px}{2}\right)}^2}+px\frac{\sin px}{px}}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{x}{2}\frac{{\sin }^2\left(\frac{x}{2}\right)}{{\left(\frac{x}{2}\right)}^2}+\frac{\sin x}{x}}{\frac{p^{2}x}{2}\frac{{\sin }^2\left(\frac{px}{2}\right)}{{\left(\frac{px}{2}\right)}^2}+p\frac{\sin px}{px}}= \\ =\left|\begin{array}{c}u=\frac{x}{2},v=\frac{px}{x},z=px\\ u,v,z\to 0\end{array}\right|= \\ =\frac{\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{2}\underset{u\to 0}{\lim }\frac{{\sin }^{2}u}{u}+\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}}{\underset{x\to 0}{\lim }\frac{p^{2}x}{2}\underset{v\to 0}{\lim }\frac{{\sin }^{2}v}{v}+p\underset{z\to 0}{\lim }\frac{\sin z}{z}}=\frac{1}{p} \end{gathered}$$