Введем обозначение $t=\mathrm{ctg}x$ и упростим выражение:

$$\frac{1-t^3}{2-t-t^3}=\frac{t^3-1}{t^3+t-2}=\dots$$

В числителе пользуемся разностью кубов. В знаменателе сразу замечаем, что один из корней равен $1$. С помощью деления многочленов уголком находим требуемое разложение:

$$\dots =\frac{(t-1)(t^2+t+1)}{(t-1)(t+t+2)}=\frac{t^2+t+1}{t^2+t+2}$$

Возвращаемся обратно к $x$ и находим значение предела, используя непрерывность котангенса (П.39):

$$\begin{gathered} \underset{x\to \frac{\pi }{4}}{\lim }\frac{{\mathrm{ctg}}^{2}x+\mathrm{ctg}x+1}{{\mathrm{ctg}}^{2}x+\mathrm{ctg}x+2}=\frac{{\mathrm{ctg}}^2\frac{\pi }{4}+\mathrm{ctg}\frac{\pi }{4}+1}{{\mathrm{ctg}}^2\frac{\pi }{4}+\mathrm{ctg}\frac{\pi }{4}+2}= \\ =\frac{1^2+1+1}{1^2+1+2}=\frac{3}{4} \end{gathered}$$