Упростим выражение, используя формулы из указания:

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{tg}(a+x)\mathrm{tg}(a-x)-{\mathrm{tg}}^{2}a}{x^2}= \\ =\frac{\frac{(\mathrm{tg}a+\mathrm{tg}x)(\mathrm{tg}a-\mathrm{tg}x)}{(1-\mathrm{tg}a\mathrm{tg}x)(1+\mathrm{tg}a\mathrm{tg}x)}-{\mathrm{tg}}^{2}a}{x^2}= \\ =\frac{\frac{{\mathrm{tg}}^{2}a-{\mathrm{tg}}^{2}x}{1-{\mathrm{tg}}^{2}a{\mathrm{tg}}^{2}x}-{\mathrm{tg}}^{2}a}{x^2}= \\ =\frac{{\mathrm{tg}}^{2}a-{\mathrm{tg}}^{2}x-{\mathrm{tg}}^{2}a+{\mathrm{tg}}^{4}a{\mathrm{tg}}^{2}x}{(1-{\mathrm{tg}}^{2}a{\mathrm{tg}}^{2}x)x^2}= \\ =\frac{{\mathrm{tg}}^{2}x}{x^2}\cdot \frac{{\mathrm{tg}}^{4}a-1}{1-{\mathrm{tg}}^{2}a{\mathrm{tg}}^{2}x} \end{gathered}$$

Найдем теперь значение предела, пользуясь первым замечательным пределом (П-ссылка), а также непрерывностью тангенса (П-ссылка):

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\mathrm{tg}}^{2}x}{x^2}\cdot \frac{{\mathrm{tg}}^{4}a-1}{1-{\mathrm{tg}}^{2}a{\mathrm{tg}}^{2}x}=1\cdot \frac{{\mathrm{tg}}^{4}a-1}{1-{\mathrm{tg}}^{2}a\cdot 0}={\mathrm{tg}}^{4}a-1$$