Используем прием из указания в числителе:

$$\begin{gathered} \frac{1-\cos x\sqrt{\cos 2x}\sqrt[3]{\cos 3x}}{x^2}= \\ =\frac{1-\cos x+\cos x(1-\sqrt{\cos 2x}\sqrt[3]{\cos 3x})}{x^2}= \\ =\frac{1-\cos x}{x^2}+\cos x\frac{1-\sqrt{\cos 2x}\sqrt[3]{\cos 3x}}{x^2} \end{gathered}$$

Чтобы не тянуть за собой хвосты, сразу найдем предел части выражения, используя первый замечательный предел (П-ссылка), а также непрерывность косинуса (П-ссылка):

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{\frac{x^2}{2}}\cdot \frac{1}{2}+\underset{x\to 0}{\lim }\cos x\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\sqrt{\cos 2x}\sqrt[3]{\cos 3x}}{x^2}= \\ =\frac{1}{2}+\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\sqrt{\cos 2x}\sqrt[3]{\cos 3x}}{x^2} \end{gathered}$$

Для числителя дроби справа еще раз используем прием из указания:

$$\begin{gathered} \frac{1-\sqrt{\cos 2x}\sqrt[3]{\cos 3x}}{x^2}= \\ =\frac{1-\sqrt{\cos 2x}}{x^2}+\sqrt{\cos 2x}\frac{1-\sqrt[3]{\cos 3x}}{x^2}=\dots \end{gathered}$$

С помощью формул разности квадратов и разности кубов избавляемся от иррациональностей в числителях двух дробей:

$$\begin{gathered} \dots =\frac{1-\cos 2x}{x^2(1+\sqrt{\cos 2x})}+\sqrt{\cos 2x}\frac{1-\cos 3x}{x^2\left(1+\sqrt[3]{\cos 3x}+{\sqrt[3]{\cos 3x}}^2\right)}= \\ =\frac{1-\cos 2x}{\frac{(2x{)}^2}{2}\cdot \frac{1}{2}(1+\sqrt{\cos 2x})}+\sqrt{\cos 2x}\frac{1-\cos 3x}{\frac{(3x{)}^2}{2}\cdot \frac{2}{9}(1+\dots )} \end{gathered}$$

Найдем теперь предел этого выражения, используя теорему о пределе сложной функции (П-ссылка), первый замечательный предел, а также непрерывность степенной функции (П-ссылка):

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\sqrt{\cos 2x}\sqrt[3]{\cos 3x}}{x^2}= \\ =\underset{x\to 0}{\lim }\left[\frac{1-\cos 2x}{\frac{(2x{)}^2}{2}\cdot \frac{1}{2}(1+\sqrt{\cos 2x})}+\sqrt{\cos 2x}\frac{1-\cos 3x}{\frac{(3x{)}^2}{2}\cdot \frac{2}{9}(1+\dots )}\right]= \\ =\frac{1}{\frac{1}{2}\cdot (1+1)}+1\cdot \frac{1}{\frac{2}{9}\cdot (1+1+1^2)}=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2} \end{gathered}$$

Не забываем, что с предыдущих преобразований за нами еще «тащится» хвост, равный $\frac{1}{2}$. Итоговый результат:

$$\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=\frac{6}{2}=3$$