Рассмотрим цепочку произведений из условия:

$$\sqrt{2}\sqrt[4]{2}\sqrt[8]{2}\dots \sqrt[2n]{2}$$

Представим корни в виде рациональной степени:

$$2^{\frac{1}{2}}{2}^{\frac{1}{4}}{2}^{\frac{1}{8}}\dots 2^{\frac{1}{2n}}$$

Воспользуемся свойством степеней:

$$a^d\cdot a^t=a^{d+t}$$

$$2^{\frac{1}{2}}{2}^{\frac{1}{4}}{2}^{\frac{1}{8}}\dots 2^{\frac{1}{2n}}=2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots +\frac{1}{2n}}$$

Рассмотрим сумму дробей в показателе:

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots +\frac{1}{2n}$$

Перезапишем эту сумму вот так:

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^1+\frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2+\dots$$

Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии с первым членом, равным $\frac{1}{2}$ и знаменателем, равным $\frac{1}{2}$:

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^1+\frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2+\dots =\frac{\frac{1}{2}\left({\left(\frac{1}{2}\right)}^n-1\right)}{\frac{1}{2}-1}=1-\frac{1}{2^n}$$

Мы получили формулу показателя степени $2$:

$$2^{1-\frac{1}{2^n}}=2^1\cdot 2^{-\frac{1}{2^n}}=\frac{2}{2^{\frac{1}{2^n}}}$$

Теперь находим предел:

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{2}\sqrt[4]{2}\sqrt[8]{2}\dots \sqrt[2n]{2}\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2}{2^{\frac{1}{2^n}}}= \\ =2\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{2^n}}=2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{1}{2}\right)}^n}=2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^0=2 \end{gathered}$$

Выше мы использовали предельный переход в показательной функции (см. прото-задачу П-ссылка) и тот факт, что ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n\to 0$ (см. прото-задачу П-ссылка).