Запишем последовательность в другом виде:

$$\sqrt[n]{n}=n^{\frac{1}{n}}=2^{{\log }_2{n}^{\frac{1}{n}}}=2^{\frac{1}{n}\cdot {\log }_{2}n}=2^{\frac{{\log }_{2}n}{n}}$$

Теперь найдем предел:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{n}=\underset{n\to \infty }{\lim }{2}^{\frac{{\log }_{2}n}{n}}=2^{\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\log }_{2}n}{n}}=2^0=1$$

Здесь мы использовали предельных переход к показателю степени (см. прото-задачу П-ссылка) и результат предыдущей, 64 задачи.