Неравенство из указания

Сначала докажем неравенство из указания к задаче:

$${\left(\frac{n+2}{n+1}\right)}^{n+1}={\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}^{n+1}>2(n=1,2,\dots )$$

Воспользуемся неравенством Бернулли, которое мы доказали в задаче 7.

$${\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}^{n+1}>1+\frac{n+1}{n+1}=2$$

В этом неравенстве стоит знак «строго больше», так как оно обернется в равенстве только при $n=-1$ (но проверяем только для натуральных $n$) или только когда $\frac{1}{n+1}=0$, а этого не может быть, так как эта дробь будет при любом натуральном $n$ положительной.

Итак, доказали неравенство

$${\left(\frac{n+2}{n+1}\right)}^{n+1}>2$$

Применим степень к числителю и знаменателю дроби и домножим обе части неравенства на знаменатель:

$$(n+2{)}^{n+1}>2\cdot (n+1{)}^{n+1}$$

В таком виде мы воспользуемся этим неравенством позднее.

---

Докажем теперь неравенство из условия по методу математической индукции.

База индукции

В качестве базы возьмем $n=2$, так как по условию $n>1$:

$$\begin{gathered} 2!=2{\left(\frac{2+1}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}=2.25 \\ 2<2.25 \end{gathered}$$

Индукционный переход

Пусть неравенство выполняется для некоторого натурального $k$:

$$k!<{\left(\frac{k+1}{2}\right)}^k$$

Надо доказать, что оно выполняется и для $k+1$. Домножим обе части неравенства на положительное $(k+1)$:

$$(k+1)!<{\left(\frac{k+1}{2}\right)}^k(k+1)$$

Преобразуем правую часть неравенства:

$${\left(\frac{k+1}{2}\right)}^k(k+1)=\frac{2\cdot (k+1{)}^{k+1}}{2^{k+1}}$$

Для числителя в правой части теперь применим полученное из указания неравенство, которое мы вывели в начале решения!

$$\begin{gathered} (k+1)!<\frac{2\cdot (k+1{)}^{k+1}}{2^{k+1}}<\frac{(k+2{)}^{k+1}}{2^{k+1}}={\left(\frac{k+2}{2}\right)}^{k+1} \\ (k+1)!<{\left(\frac{k+2}{2}\right)}^{k+1} \end{gathered}$$

Мы доказали индукционный переход. Это означает, что приведенное в условии неравенство выполняется для любых натуральных $n>1$.

$■$