Демидович
7

Доказать, что если , то справедливо неравенство

причем знак равенства имеет место лишь при .

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Частный случай задачи 6.

Для доказательства того, что знак равенства получается лишь при , предположить противное. Затем воспользоваться уже доказанным неравенством и получить противоречие.

Решение

Доказательство неравенства

В задаче 6 доказывалась общая форма неравенства Бернулли:

где — числа одного и того же знака, большие .

Неравенство, которое нам нужно доказать в этой задаче, является частным случаем этой общей формы, при которой :

Случаи равенства

Рассмотрим теперь, при каких неравенство переходит в равенство.

Если , то сразу получаем равенство при любых :

Поэтому, будем искать равенство при условии .

Подставив в неравенство получаем очевидное равенство:

Итак, при любом дает равенство. Докажем теперь, что никакой другой не даст равенство.

Предположим, что существует некое число , которое тоже обращает наше неравенство в равенство:

Разобьем левую часть на два множителя:

Так как , то для множителя воспользуемся уже доказанным неравенством:

Умножим скобки друг на друга в правой части:

В итоге, с учетом нашего предположения о том, что превращает неравенство в равенство, получаем следующее:

Из обеих частей неравенства вычитаем :

Это неравенство не может быть истинным, так как и . Произведение таких чисел тоже будет строго положительным числом.

Получили противоречие, а значит не существует такого , отличного от , которое обращало бы неравенство в равенство .

Разбор 2
Петр Радько
Указание

Доказательство равенства

Доказывать равенство надо по методу математической индукции.

Выполните следующее преобразование:

В правой части выполните замену на индукционное предположение:

Умножьте скобку на каждый член суммы и воспользуйтесь свойствами сочетаний:

Бином Ньютона

Воспользуйтесь доказанным равенством и тем фактом, что при :

Решение

Несмотря на то, что в условии указано и мы докажем более общий вариант неравенства для и всех натуральных , включая .

Докажем по методу математической индукции.

База индукции

Пусть . Получаем:

Индукционный переход

Пусть неравенство выполняется для некоторого натурального числа :

Докажем, что оно выполняется и для . Так как по условию , то . Это значит, что можно без изменения знака домножить неравенство выше на :

Рассмотрим отдельно правую часть этого неравенства.

Так как , то можно отбросить это слагаемое:

Сразу стоит обратить внимание, что это неравенство обращается в равенство только при . При любом другом положительное слагаемое будет больше . Другими словами, при любом левая часть будет строго больше правой.

Итак, мы закончили преобразование правой части. В результате имеем:

Опускаем центральную часть и оставляем главное:

Мы доказали индукционный переход. Это означает, что указанное в условии неравенство выполняется для любых натуральных .

Случай равенства

Рассмотрим теперь, при каких неравенство в условии переходит в равенство.

Уже в доказательстве самого неравенства мы показали, что равенство получается только при .

Но есть еще один вариант.

Если , то сразу получаем равенство при любых :

Итак, неравенство обращается в равенство только в двух случаях:

  1. , любой
Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!