Демидович
74

Доказать неравенства

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Воспользуйтесь результатами задач 8 и 69.

Решение

Доказательство левой части

Докажем, что

Рассмотрим последовательность

Найдем отношение двух идущих друг за другом членов этой последовательности:

В задаче 69 мы доказали, что последовательность всегда меньше :

Итак,

Докажем по методу математической индукции:

База индукции: пусть :

Индукционный переход:

Предположим, что это неравенство выполняется для натурального :

Умножим обе части на :

Докажем, что

Последнее мы доказали выше.

Итак, по цепному неравенству:

Итак, мы доказали, что неравенство выполняется и для . Значит для всех выполняется:

Итак, мы доказали неравенство

для , так как любое можно представить в виде , а верность для мы уже показали выше по индукции.

Проверим это неравенство для :

Итак, мы доказали, что для любых натуральных выполняется

Доказательство правой части

Докажем, что

В задаче 8 мы доказали неравенство:

Представим в следующем виде:

Итак,

В задаче 69 мы доказали, что последовательность всегда меньше :

Заметим, что нам уже не требуется ограничение на , так как и при это неравенство выполняется. Итак, мы доказали, что

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!