Доказательство левой части

Докажем, что

$${\left(\frac{n}{e}\right)}^n<n!$$

Рассмотрим последовательность

$$x_n={\left(\frac{n}{e}\right)}^n$$

Найдем отношение двух идущих друг за другом членов этой последовательности:

$$\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{{\left(\frac{(n+1)}{e}\right)}^{n+1}}{{\left(\frac{n}{e}\right)}^n}=\frac{(n+1{)}^{n+1}}{e^{n+1}}\frac{e^n}{n^n}={\left(\frac{n+1}{n}\right)}^n\frac{n+1}{e}$$

В задаче 69 мы доказали, что последовательность ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ всегда меньше $e$:

$$\frac{x_{n+1}}{x_n}=\underset{<e}{\underbrace{{\left(\frac{n+1}{n}\right)}^n}}\frac{n+1}{e}$$

$$\frac{x_{n+1}}{x_n}<\frac{e}{e}(n+1)$$

$$\frac{x_{n+1}}{x_n}<n+1$$

Итак,

$$x_{n+1}<(n+1)x_n$$

Докажем по методу математической индукции:

$$(n+1)x_n<(n+1)!$$

База индукции: пусть $n=1$:

$$2\frac{1}{e}<2!\frac{1}{e}<1$$

Индукционный переход:

Предположим, что это неравенство выполняется для натурального $k$:

$$(k+1)x_k<(k+1)!$$

Умножим обе части на $(k+2)$:

$$(k+1)(k+2)x_k<(k+2)!$$

Докажем, что

$$(k+2)x_{k+1}<(k+1)(k+2)x_k$$

$$x_{k+1}<(k+1)x_k$$

Последнее мы доказали выше.

Итак, по цепному неравенству:

$$(k+2)x_{k+1}<(k+1)(k+2)x_k<(k+2)!$$

$$(k+2)x_{k+1}<(k+2)!$$

Итак, мы доказали, что неравенство выполняется и для $k+1$. Значит для всех $n$ выполняется:

$$x_{n+1}<(n+1)x_n<(n+1)!$$

$$x_{n+1}<(n+1)!$$

Итак, мы доказали неравенство

$${\left(\frac{n}{e}\right)}^n<n!$$

для $n>1$, так как любое $n>1$ можно представить в виде $n=t+1$, а верность для $t+1$ мы уже показали выше по индукции.

Проверим это неравенство для $n=1$:

$$\frac{1}{e}<1!$$

Итак, мы доказали, что для любых натуральных $n$ выполняется

$${\left(\frac{n}{e}\right)}^n<n!$$

$■$

Доказательство правой части

Докажем, что

$$n!<e{\left(\frac{n}{2}\right)}^n$$

В задаче 8 мы доказали неравенство:

$$n!<{\left(\frac{n+1}{2}\right)}^n(n>1)$$

Представим ${\left(\frac{n+1}{2}\right)}^n$ в следующем виде:

$${\left(\frac{n+1}{2}\right)}^n={\left(\frac{n+1}{n}\right)}^n{\left(\frac{n}{2}\right)}^n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n{\left(\frac{n}{2}\right)}^n$$

Итак,

$$n!<{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n{\left(\frac{n}{2}\right)}^n(n>1)$$

В задаче 69 мы доказали, что последовательность ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ всегда меньше $e$:

$$n!<{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n{\left(\frac{n}{2}\right)}^n<e{\left(\frac{n}{2}\right)}^n$$

$$n!<e{\left(\frac{n}{2}\right)}^n$$

Заметим, что нам уже не требуется ограничение на $n>1$, так как и при $n=1$ это неравенство выполняется. Итак, мы доказали, что

$$n!<e{\left(\frac{n}{2}\right)}^n$$

$■$