Демидович
80

Пользуясь теоремой о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности, доказать сходимость следующих последовательностей:

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Указание

Монотонность

Докажите, что возрастает, показав, что .

Ограничение

Воспользуйтесь пунктом б) задачи 75.

Используйте формулу суммы членов геометрической прогрессии и докажите, что является ограничением сверху.

Решение

Монотонность

Покажем, что — возрастающая последовательность:

Это неравенство всегда верно, так как слева положительное число, а справа .

Значит — возрастающая последовательность.

Ограничение сверху

Для начала заметим очень важную особенность: все скобки имеют вид , где — какое-то число. В пункте б) задачи 75 мы доказали, что для любого вещественного выполняется неравенство:

Применительно к нашей задаче:

Пользуясь этим фактом, можно элементарно доказать по методу математической индукции, что:

Доказательство

База индукции

Пусть . Имеем:

Индукционный переход

Предположим, что доказываемое неравенство выполняется для какого-то натурального :

Умножим обе части неравенства на положительную скобук :

Но по пункту б) задачи 75 мы получаем, что

Поэтому:

Итак, мы из неравенства для вывели неравенство для . Индукционный переход доказан. Значит, доказываемое неравенство выполняется для любого натурального .

Обратим внимание на показатель степени числа в правой части неравенства. Замечаем, что он представляет собой сумму членов геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем, равными . Воспользуемся формулой суммы:

Итак:

Дело за малым! Осталось показать, что

Берем корень степени от обеих частей и получаем очевидно верное неравенство:

Итак, мы доказали, что

А значит, возвращаясь по цепочке неравенств:

Итак, наша последовательность ограничена сверху числом .


Мы показали, что возрастает и ограничена сверху. Значит, сходится.

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!