80 | Демидович. Решения

Монотонность

Покажем, что $x_{n}$ — возрастающая последовательность:

$x_{n + 1} > x_{n}$

$(1 + \frac{1}{2}) \dots (1 + \frac{1}{2 ^{n}}) (1 + \frac{1}{2 ^{n + 1}}) < (1 + \frac{1}{2}) \dots (1 + \frac{1}{2 ^{n}})$

$1 + \frac{1}{2 ^{n + 1}} > 1$

$\frac{1}{2 ^{n + 1}} > 0$

Это неравенство всегда верно, так как слева положительное число, а справа $0$ .

Значит $x_{n}$ — возрастающая последовательность.

Ограничение сверху

Для начала заметим очень важную особенность: все скобки имеют вид $1 + α$ , где $α$ — какое-то число. В пункте б) задачи 75 мы доказали, что для любого вещественного $α$ выполняется неравенство:

$1 + α < e^{α}$

Применительно к нашей задаче:

$1 + \frac{1}{2 ^{n}} < e^{\frac{1}{2 ^{n}}}$

Пользуясь этим фактом, можно элементарно доказать по методу математической индукции, что:

$(1 + \frac{1}{2}) (1 + \frac{1}{4}) \dots (1 + \frac{1}{2 ^{n}}) < e^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2 ^{n}}}$

Доказательство

База индукции

Пусть $n = 1$ . Имеем:

$1 + \frac{1}{2} < e^{\frac{1}{2}}$

Индукционный переход

Предположим, что доказываемое неравенство выполняется для какого-то натурального $k$ :

$(1 + \frac{1}{2}) \dots (1 + \frac{1}{2 ^{k}}) < e^{\frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{2 ^{k}}}$

Умножим обе части неравенства на положительную скобук $(1 + \frac{1}{2 ^{k + 1}})$ :

$(1 + \frac{1}{2}) \dots (1 + \frac{1}{2 ^{k}}) (1 + \frac{1}{2 ^{k + 1}}) < e^{\frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{2 ^{k}}} (1 + \frac{1}{2 ^{k + 1}})$

Но по пункту б) задачи 75 мы получаем, что

$(1 + \frac{1}{2 ^{k + 1}}) < e^{\frac{1}{2 ^{k + 1}}}$

Поэтому:

$(1 + \frac{1}{2}) \dots (1 + \frac{1}{2 ^{k + 1}}) < e^{\frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{2 ^{k}}} (1 + \frac{1}{2 ^{k + 1}}) < e^{\frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{2 ^{k}}} \cdot e^{\frac{1}{2 ^{k + 1}}}$

$(1 + \frac{1}{2}) \dots (1 + \frac{1}{2 ^{k + 1}}) < e^{\frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{2 ^{k}} + \frac{1}{2 ^{k + 1}}}$

Итак, мы из неравенства для $k$ вывели неравенство для $k + 1$ . Индукционный переход доказан. Значит, доказываемое неравенство выполняется для любого натурального $n$ .

$■$

Обратим внимание на показатель степени числа $e$ в правой части неравенства. Замечаем, что он представляет собой сумму $n$ членов геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем, равными $\frac{1}{2}$ . Воспользуемся формулой суммы:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2 ^{n}} = \frac{\frac{1}{2} ( 1 - ( \frac{1}{2} ) ^{n} )}{1 - \frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{2 ^{n}}$

Итак:

$e^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2 ^{n}}} = e^{1 - \frac{1}{2 ^{n}}}$

Дело за малым! Осталось показать, что

$e^{1 - \frac{1}{2 ^{n}}} < e e \cdot e^{- \frac{1}{2 ^{n}}} < e \frac{1}{e ^{\frac{1}{2 ^{n}}}} < 1 1 < e^{\frac{1}{2 ^{n}}}$

Берем корень $\frac{1}{2 ^{n}}$ степени от обеих частей и получаем очевидно верное неравенство:

$1 < e$

Итак, мы доказали, что

$e^{1 - \frac{1}{2 ^{n}}} < e$

А значит, возвращаясь по цепочке неравенств:

$(1 + \frac{1}{2}) (1 + \frac{1}{4}) \dots (1 + \frac{1}{2 ^{n}}) < e^{1 - \frac{1}{2 ^{n}}} e^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2 ^{n}}} < e$

$(1 + \frac{1}{2}) (1 + \frac{1}{4}) \dots (1 + \frac{1}{2 ^{n}}) < e$

Итак, наша последовательность $x_{n}$ ограничена сверху числом $e$ .

Мы показали, что $x_{n}$ возрастает и ограничена сверху. Значит, $x_{n}$ сходится.

$■$