Пользуясь теоремой о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности, доказать сходимость следующих последовательностей:
Монотонность
Докажите, что возрастает, показав, что .
Ограничение
Воспользуйтесь пунктом б) задачи 75.
Используйте формулу суммы членов геометрической прогрессии и докажите, что является ограничением сверху.
Монотонность
Покажем, что — возрастающая последовательность:
Это неравенство всегда верно, так как слева положительное число, а справа .
Значит — возрастающая последовательность.
Ограничение сверху
Для начала заметим очень важную особенность: все скобки имеют вид , где — какое-то число. В пункте б) задачи 75 мы доказали, что для любого вещественного выполняется неравенство:
Применительно к нашей задаче:
Пользуясь этим фактом, можно элементарно доказать по методу математической индукции, что:
База индукции
Пусть . Имеем:
Индукционный переход
Предположим, что доказываемое неравенство выполняется для какого-то натурального :
Умножим обе части неравенства на положительную скобук :
Но по пункту б) задачи 75 мы получаем, что
Поэтому:
Итак, мы из неравенства для вывели неравенство для . Индукционный переход доказан. Значит, доказываемое неравенство выполняется для любого натурального .
Обратим внимание на показатель степени числа в правой части неравенства. Замечаем, что он представляет собой сумму членов геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем, равными . Воспользуемся формулой суммы:
Итак:
Дело за малым! Осталось показать, что
Берем корень степени от обеих частей и получаем очевидно верное неравенство:
Итак, мы доказали, что
А значит, возвращаясь по цепочке неравенств:
Итак, наша последовательность ограничена сверху числом .
Мы показали, что возрастает и ограничена сверху. Значит, сходится.