Для начала выразим $x_n$ в виде рекуррентной формулы:

$$x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}$$

Монотонность

Покажем, что $x_n$ — возрастающая последовательность:

$$x_{n+1}>x_n$$

Доказывать будем по методу математической индукции.

База индукции: пусть $n=1$. Получаем:

$$\sqrt{2+\sqrt{2}}>\sqrt{2}$$

Возводим обе части в квадрат:

$$2+\sqrt{2}>2$$

$$\sqrt{2}>0$$

Индукционный переход:

Предположим, что для какого-то $k$ выполняется:

$$x_{k+1}>x_k$$

Докажем, что выполняется неравенство для $k+1$:

$$x_{k+2}>x_{k+1}$$

Воспользуемся рекуррентной формулой:

$$\sqrt{2+x_{k+1}}>\sqrt{2+x_k}$$

Возводим обе части в квадрат:

$$2+x_{k+1}>2+x_k$$

$$x_{k+1}>x_k$$

Последнее выполняется по предположению индукции.

Итак, неравенство выполняется и для $k+1$. Доказали индукционный переход. А значит доказали, что

$$x_{n+1}>x_n$$

Значит $x_n$ — возрастающая последовательность.

Ограничение сверху

Докажем по методу математической индукции, что

$$x_n<2$$

База индукции: пусть $n=1$. Получаем:

$$\sqrt{2}\approx 1.4<2$$

Индукционный переход:

Предположим, что доказываемое неравенство выполняется для какого-то $k$:

$$x_k<2$$

Докажем, что оно выполняется и для $k+1$:

$$x_{k+1}<2$$

Воспользуемся рекуррентной формулой:

$$\sqrt{2+x_k}<2$$

Возводим обе части в квадрат:

$$2+x_k<4$$

$$x_k<2$$

Последнее выполняется по предположению индукции.

Итак, неравенство выполняется и для $k+1$. Доказали индукционный переход. А значит доказали, что

$$x_n<2$$

Значит, $x_n$ ограничена сверху числом $2$.

Мы показали, что $x_n$ возрастает и ограничена сверху. Значит, $x_n$ сходится.

$■$