Итак, нам нужно показать, что

$$\forall \epsilon >0\exists N=N(\epsilon )\forall n>N,p>0:|x_{n+p}-x_n|<\epsilon$$

Рассмотрим последнее неравенство:

$$|a_0+a_{1}q+\dots a_n{q}^n+\dots +a_{n+p}{q}^{n+p}-(a_0+a_{1}q+\dots a_n{q}^n)|<\epsilon$$

$$|a_{n+1}{q}^{n+1}+\dots +a_{n+p}{q}^{n+p}|<\epsilon$$

Воспользуемся следующим свойством модуля (см. прото-задачу П-ссылка):

$$|a+b+c+\dots |\le |a|+|b|+|c|+\dots$$

$$|a_{n+1}{q}^{n+1}+\dots +a_{n+p}{q}^{n+p}|\le |a_{n+1}{q}^{n+1}|+\dots +|a_{n+p}{q}^{n+p}|<\epsilon$$

Далее будем работать с усиленным неравенством. Найденное для него $N$ будет по цепному неравенству работать и с исходным нервенством.

Воспользуемся еще одним свойством модуля (все та же прото-задача):

$$|a\cdot b|=|a||b|$$

$$|a_{n+1}{q}^{n+1}|+\dots +|a_{n+p}{q}^{n+p}|=|a_{n+1}||q^{n+1}|+\dots +|a_{n+p}||q^{n+p}|<\epsilon$$

Из условия нам известно, что $|a_k|<M$, поэтому все такие множители можно заменить на $M$, еще более усилив неравенство:

$$|a_{n+1}||q^{n+1}|+\dots +|a_{n+p}||q^{n+p}|<M|q^{n+1}|+\dots +M|q^{n+p}|<\epsilon$$

Воспользвовавшись вышеуказанным свойством модуля, можно «вынести» степень за знаки модуля:

$$|a^b|=|a\cdot a\cdot a\dots |=|a||a||a|\dots =|a{|}^b$$

$$M|q{|}^{n+1}+\dots +M|q{|}^{n+p}<\epsilon$$

Вынесем за скобки $M|q{|}^n$:

$$M|q{|}^n\left(|q{|}^1+|q{|}^2+\dots +|q{|}^p\right)<\epsilon$$

В скобках воспользуемся формулой суммы $p$ членов геометрической прогрессии с первым членом, равным $|q|$ и таким же знаменателем:

$$\left(|q{|}^1+|q{|}^2+\dots +|q{|}^p\right)=\frac{|q|\left(|q{|}^p-1\right)}{|q|-1}$$

По условию $|q|<1$, поэтому в знаменателе дроби получим отрицательное число. Вынесем $-1$ из знаменателя и применим его к скобке в числителе:

$$\left(|q{|}^1+|q{|}^2+\dots +|q{|}^p\right)=\frac{|q|}{1-|q|}\left(1-|q{|}^p\right)$$

Заменяем скобку в неравенстве на полученное выражение:

$$|q{|}^n\frac{M|q|}{1-|q|}\left(1-|q{|}^p\right)<\epsilon$$

Замечаем, что скобка всегда меньше $1$, поэтому заменяем ее на $1$:

$$|q{|}^n\frac{M|q|}{1-|q|}\left(1-|q{|}^p\right)<|q{|}^n\frac{M|q|}{1-|q|}<\epsilon$$

$$|q{|}^n\frac{M|q|}{1-|q|}<\epsilon$$

$$|q{|}^n<\frac{1-|q|}{M|q|}\epsilon$$

Прологарифмируем неравенство по основанию $|q|$. Так как по условию $|q|<1$, то знак неравенства сменится на противоположный:

$$n>{\log }_{|q|}\left(\frac{1-|q|}{M|q|}\epsilon \right)$$

Итак, для любого $\epsilon >0$ нам достаточно взять $N$ по следующей формуле:

$$N(\epsilon )=\lceil \left|{\log }_{|q|}\left(\frac{\epsilon }{pM}\right)\right|\rceil$$

Тогда, какое-бы $n>N$ мы не взяли,

$$n\ge N(\epsilon )+1>N(\epsilon )=\lceil \left|{\log }_{|q|}\left(\frac{\epsilon }{pM}\right)\right|\rceil \ge {\log }_{|q|}\left(\frac{\epsilon }{pM}\right)$$

А раз такое произвольное $n$

$$n>{\log }_{|q|}\left(\frac{1-|q|}{M|q|}\epsilon \right),$$

то, «возвращаясь» по длинной цепочке цепного неравенства мы приходим к тому, что для произвольного $p$:

$$|x_{n+p}-x_n|<\epsilon$$

Мы доказали, что последовательность $x_n$ является фундаментальной, а значит она сходится.

$■$