Сходимость $y_n$

За $y_n$ обозначим последовательность сумм из неравенства в условии, при этом возьмем какое-нибудь число $T<C$ для $y_1$:

$$\begin{gathered} y_1=T \\ {y}_2=|x_2-x_1| \\ {y}_3=|x_2-x_1|+|x_3-x_2| \\ \dots \\ {y}_n=|x_2-x_1|+|x_3-x_2|+\dots +|x_n-x_{n-1}| \end{gathered}$$

По условию любой член последовательности $y_n$ ограничен сверху числом $C$.

Докажем, что $y_n$ — неубывающая последовательность:

$$y_{n+1}\ge y_n$$

$$|x_2-x_1|+\dots +|x_{n+1}-x_n|\ge |x_2-x_1|+\dots +|x_n-x_{n-1}|$$

$$|x_{n+1}-x_n|\ge 0$$

По определению операции модуля, его результатом является положительное число или $0$. Поэтому последнее неравенство выполняется.

Итак, последовательность $y_n$ неубывает и ограничена сверху. Значит она сходится.

Сходимость $x_n$

Выше мы показали, что последовательность $y_n$ сходится. По критерию Коши это означает, что $y_n$ является фундаментальной, то есть

$$\forall \epsilon >0\exists N=N(\epsilon )\forall n>N,p>0:|y_{n+p}-y_n|<\epsilon$$

Рассмотрим, что из себя представляет последнее неравенство:

$$|y_{n+p}-y_n|<\epsilon$$

$$\left||x_2-x_1|+\dots +|x_{n+p}-x_{n+p-1}|-\left(|x_2-x_1|+\dots +|x_n-x_{n-1}|\right)\right|<\epsilon$$

$$\left||x_{n+2}-x_{n+1}|+|x_{n+3}-x_{n+2}|+\dots +|x_{n+p}-x_{n+p-1}|\right|<\epsilon$$

Внешний модуль можно опустить, так как под ним сумма модулей, которая всегда положительна:

$$|x_{n+2}-x_{n+1}|+|x_{n+3}-x_{n+2}|+\dots +|x_{n+p}-x_{n+p-1}|<\epsilon$$

Воспользуемся свойством модуля:

$$|a+b+c+\dots |\le |a|+|b|+|c|+\dots$$

$$\begin{gathered} |x_{n+2}-x_{n+1}+x_{n+3}-x_{n+2}+\dots +x_{n+p}-x_{n+p-1}|\le \\ \le |x_{n+2}-x_{n+1}|+|x_{n+3}-x_{n+2}|+\dots +|x_{n+p}-x_{n+p-1}|<\epsilon \end{gathered}$$

Итак, мы из

$$|y_{n+p}-y_n|<\epsilon$$

получили

$$|x_{n+p}-x_n|<\epsilon$$

Запишем вместе с логической частью:

$$\forall \epsilon >0\exists N=N(\epsilon )\forall n>N,p>0:|x_{n+p}-x_n|<\epsilon$$

То есть, $x_n$ по определению является фундаментальной последовательностью, а значит сходится.

Построение примера

Рассмотрим последовательность $z_n$:

$$0,1,0,\frac{1}{2},0,\frac{1}{3},0\dots 0,\frac{1}{n}$$

Докажем, что она имеет предел, равный $0$. Для этого «зажмем» ее между $0$ и $\frac{1}{n}$:

$$0\le z_n\le \frac{1}{n}$$

Левая «последовательность» из $0$ стремится к $0$. Правая последовательность $\frac{1}{n}$ тоже стремится к $0$ (см. прото-задачу П-ссылка). Значит, по теореме о двух милиционерах, «зажатая» между ними последовательность $z_n$ тоже стремится к $0$.

Теперь исследуем $z_n$ на наличие ограниченного изменения:

$$|x_2-x_1|+|x_3-x_2|+\dots +|x_n-x_{n-1}|=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots$$

Получаем гармонический ряд, который расходится (см. прото-задачу П-ссылка).

Итак, мы привели пример сходящейся последовательности $z_n$, которая не имеет ограниченного изменения.