Сходимость yn
За yn обозначим последовательность сумм из неравенства в условии, при этом возьмем какое-нибудь число T<C для y1:
y1=Ty2=∣x2−x1∣y3=∣x2−x1∣+∣x3−x2∣…yn=∣x2−x1∣+∣x3−x2∣+…+∣xn−xn−1∣
По условию любой член последовательности yn ограничен сверху числом C.
Докажем, что yn — неубывающая последовательность:
yn+1≥yn
∣x2−x1∣+…+∣xn+1−xn∣≥∣x2−x1∣+…+∣xn−xn−1∣
∣xn+1−xn∣≥0
По определению операции модуля, его результатом является положительное число или 0. Поэтому последнее неравенство выполняется.
Итак, последовательность yn неубывает и ограничена сверху. Значит она сходится.
Сходимость xn
Выше мы показали, что последовательность yn сходится. По критерию Коши это означает, что yn является фундаментальной, то есть
∀ε>0 ∃N=N(ε) ∀n>N,p>0 : ∣yn+p−yn∣<ε
Рассмотрим, что из себя представляет последнее неравенство:
∣yn+p−yn∣<ε
∣∣x2−x1∣+…+∣xn+p−xn+p−1∣−(∣x2−x1∣+…+∣xn−xn−1∣)∣<ε
∣∣xn+2−xn+1∣+∣xn+3−xn+2∣+…+∣xn+p−xn+p−1∣∣<ε
Внешний модуль можно опустить, так как под ним сумма модулей, которая всегда положительна:
∣xn+2−xn+1∣+∣xn+3−xn+2∣+…+∣xn+p−xn+p−1∣<ε
Воспользуемся свойством модуля:
∣a+b+c+…∣≤∣a∣+∣b∣+∣c∣+…
∣xn+2−xn+1+xn+3−xn+2+…+xn+p−xn+p−1∣≤≤∣xn+2−xn+1∣+∣xn+3−xn+2∣+…+∣xn+p−xn+p−1∣<ε
Итак, мы из
∣yn+p−yn∣<ε
получили
∣xn+p−xn∣<ε
Запишем вместе с логической частью:
∀ε>0 ∃N=N(ε) ∀n>N,p>0 : ∣xn+p−xn∣<ε
То есть, xn по определению является фундаментальной последовательностью, а значит сходится.
Построение примера
Рассмотрим последовательность zn:
0,1,0,21,0,31,0…0,n1
Докажем, что она имеет предел, равный 0. Для этого "зажмем" ее между 0 и n1:
0≤zn≤n1
Левая "последовательность" из 0 стремится к 0. Правая последовательность n1 тоже стремится к 0 (см. прото-задачу П.10).
Значит, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" между ними последовательность zn тоже стремится к 0.
Теперь исследуем zn на наличие ограниченного изменения:
∣x2−x1∣+∣x3−x2∣+…+∣xn−xn−1∣=1+21+31+…
Получаем гармонический ряд, который расходится (см. прото-задачу П.15).
Итак, мы привели пример сходящейся последовательности zn, которая не имеет ограниченного изменения.