Ничего не нашлось!
Попробуйте переформулировать запрос.
Вы можете предложить добавить решение/материал.
Свойства подпоследовательностей

Содержимое задачи.

К решению
Задача 86
Нормальная

Говорят, что последовательность имеет ограниченное изменение, если существует число такое, что

Доказать, что последовательность с ограниченным изменением сходится.

Построить пример сходящейся последовательности, не имеющей ограниченного изменения.

Решение

Сходимость

За обозначим последовательность сумм из неравенства в условии, при этом возьмем какое-нибудь число для :

По условию любой член последовательности ограничен сверху числом .

Докажем, что — неубывающая последовательность:

По определению операции модуля, его результатом является положительное число или . Поэтому последнее неравенство выполняется.

Итак, последовательность неубывает и ограничена сверху. Значит она сходится.

Сходимость

Выше мы показали, что последовательность сходится. По критерию Коши это означает, что является фундаментальной, то есть

Рассмотрим, что из себя представляет последнее неравенство:

Внешний модуль можно опустить, так как под ним сумма модулей, которая всегда положительна:

Воспользуемся свойством модуля:

Итак, мы из

получили

Запишем вместе с логической частью:

То есть, по определению является фундаментальной последовательностью, а значит сходится.

Построение примера

Рассмотрим последовательность :

Докажем, что она имеет предел, равный . Для этого «зажмем» ее между и :

Левая «последовательность» из стремится к . Правая последовательность тоже стремится к (см. прото-задачу П-ссылка). Значит, по теореме о двух милиционерах, «зажатая» между ними последовательность тоже стремится к .

Теперь исследуем на наличие ограниченного изменения:

Получаем гармонический ряд, который расходится (см. прото-задачу П-ссылка).

Итак, мы привели пример сходящейся последовательности , которая не имеет ограниченного изменения.