Демидович
86

Говорят, что последовательность имеет ограниченное изменение, если существует число такое, что

Доказать, что последовательность с ограниченным изменением сходится.

Построить пример сходящейся последовательности, не имеющей ограниченного изменения.

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Решение

Сходимость

За обозначим последовательность сумм из неравенства в условии, при этом возьмем какое-нибудь число для :

По условию любой член последовательности ограничен сверху числом .

Докажем, что — неубывающая последовательность:

По определению операции модуля, его результатом является положительное число или . Поэтому последнее неравенство выполняется.

Итак, последовательность неубывает и ограничена сверху. Значит она сходится.

Сходимость

Выше мы показали, что последовательность сходится. По критерию Коши это означает, что является фундаментальной, то есть

Рассмотрим, что из себя представляет последнее неравенство:

Внешний модуль можно опустить, так как под ним сумма модулей, которая всегда положительна:

Воспользуемся свойством модуля:

Итак, мы из

получили

Запишем вместе с логической частью:

То есть, по определению является фундаментальной последовательностью, а значит сходится.

Построение примера

Рассмотрим последовательность :

Докажем, что она имеет предел, равный . Для этого "зажмем" ее между и :

Левая "последовательность" из стремится к . Правая последовательность тоже стремится к (см. прото-задачу П.10). Значит, по теореме о двух милиционерах, "зажатая" между ними последовательность тоже стремится к .

Теперь исследуем на наличие ограниченного изменения:

Получаем гармонический ряд, который расходится (см. прото-задачу П.15).

Итак, мы привели пример сходящейся последовательности , которая не имеет ограниченного изменения.

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Прото-задачи
Элементарные пределы последовательностей
Пределы последовательностей, к которым сводятся множество задач.
Расходимость гармонического ряда
Доказательство расходимости гармонического ряда с помощью второго замечательного предела.