Словестная формулировка

Смысл фундаментальной последовательности состоит в том, что чем дальше мы двигаемся по последовательности, тем ближе друг к другу они расположены. Какое бы расстояние $\epsilon$ мы не придумали, в какой-то момент (с $N$-го элемента) расстояние между элементами будет меньше, чем то, которое мы придумали. Раз расстояние между элементами бесконечно уменьшается, то сама последовательность постепенно перестает «колебаться» и «выпрямляется» (сходится). В этом и состоит критерий Коши — из фундаментальности последовательности следует ее сходимость и наоброт.

Если последовательность не фундаментальная, то расстояние между элементами не уменьшается бесконечно. Существует определенное расстояние ${\epsilon }^{\prime }$, такое, что как бы далеко мы не зашли (какое-бы $N$ не взяли) всегда найдутся два элемента $x_{n^{\prime }}$ и $x_{n^{\prime }+p^{\prime }}$, расстояние между которыми больше $\epsilon$.

Логическая формулировка

Критерий Коши на языке математической логики:

$$\exists \underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n\iff \forall \epsilon >0\exists N=N(\epsilon )\forall n>N,p>0:|x_{n+p}-x_n|<\epsilon$$

Если Критерий Коши не выполняется:

$$\nexists \underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n\iff \exists {\epsilon }^{\prime }>0\forall N=N(\epsilon )\exists n^{\prime }>N,p^{\prime }>0:|x_{n^{\prime }+p^{\prime }}-x_{n^{\prime }}|\ge {\epsilon }^{\prime }$$