Последовательность $x_n$ называется гармоническим рядом. Покажем, что эта последовательность не является фундаментальной, то есть для нее не выполняется критерий Коши:

$$\exists {\epsilon }^{\prime }>0\forall N=N(\epsilon )\exists n^{\prime }>N,p^{\prime }>0:|x_{n^{\prime }+p^{\prime }}-x_{n^{\prime }}|\ge {\epsilon }^{\prime }$$

Возьмем какое-нибудь $n^{\prime }>N$. Возьмем $p^{\prime }=n^{\prime }$.

Рассмотрим модуль разности этих элементов:

$$\left|x_{n^{\prime }+p^{\prime }}-x_{n^{\prime }}\right|=\left|x_{2n^{\prime }}-x_{n^{\prime }}\right|=\left|\frac{1}{n^{\prime }+1}+\frac{1}{n^{\prime }+2}+\dots +\frac{1}{2n^{\prime }}\right|$$

От модуля можно избавиться, так как внутри всегда положительное число:

$$\left|x_{n^{\prime }+p^{\prime }}-x_{n^{\prime }}\right|=\frac{1}{n^{\prime }+1}+\frac{1}{n^{\prime }+2}+\dots +\frac{1}{2n^{\prime }}$$

Замечаем, что $\frac{1}{2n^{\prime }}$ не меньше любого слагаемого:

$$\left|x_{n^{\prime }+p^{\prime }}-x_{n^{\prime }}\right|=\stackrel{>\frac{1}{2n^{\prime }}}{\overbrace{\frac{1}{n^{\prime }+1}}}+\stackrel{>\frac{1}{2n^{\prime }}}{\overbrace{\frac{1}{n^{\prime }+2}}}+\dots +\frac{1}{2n^{\prime }}$$

Заменим каждое слагаемое на $\frac{1}{2n^{\prime }}$:

$$|x_{n^{\prime }+p^{\prime }}-x_{n^{\prime }}|>\frac{1}{2n^{\prime }}+\frac{1}{2n^{\prime }}+\dots =\frac{n^{\prime }}{2n^{\prime }}=\frac{1}{2}$$

$$|x_{n^{\prime }+p^{\prime }}-x_{n^{\prime }}|>\frac{1}{2}$$

Итак, мы можем взять ${\epsilon }^{\prime }=\frac{1}{2}$ и тогда для любого $N$ берем любое $n^{\prime }>N$ и $p^{\prime }=n^{\prime }$ и расстояние между этими двумя элементами будет больше ${\epsilon }^{\prime }$. Поэтому последовательность $x_n$ не является фундаментальной, а значит для нее не выполняется критерий Коши.

Раз для последовательности $x_n$ не выполняется критерий Коши, то она расходится (не имеет конечного предела).

$■$