Демидович
88

Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость последовательности

Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!
Разбор 1
Петр Радько
Решение

Последовательность называется гармоническим рядом. Покажем, что эта последовательность не является фундаментальной, то есть для нее не выполняется критерий Коши:

Возьмем какое-нибудь . Возьмем .

Рассмотрим модуль разности этих элементов:

От модуля можно избавиться, так как внутри всегда положительное число:

Замечаем, что не меньше любого слагаемого:

Заменим каждое слагаемое на :

Итак, мы можем взять и тогда для любого берем любое и и расстояние между этими двумя элементами будет больше . Поэтому последовательность не является фундаментальной, а значит для нее не выполняется критерий Коши.

Раз для последовательности не выполняется критерий Коши, то она расходится (не имеет конечного предела).

Не разобрались?
Спросить
Да, да... Реклама всех бесит!Все решения пишутся на добровольной основе. Нет рекламы, нет дохода — нет мотивации поддерживать сайт. Если решение вам помогло, помогите и нам — добавьте сайт в исключения блокировщика!