Задача 97 — Демидович

I§2Грани и наибольшие/наименьшие частичные пределы

└─

Главная

└─

Задачи

└─

I. Введение в анализ

└─

§2. Теория последовательностей

└─

Грани и наибольшие/наименьшие частичные пределы

└─

Задача 97

Нормальная

Найти наибольший член последовательности

x_{n} (n = 1, 2, \dots)

, если:

$x_{n} = \frac{n}{100 + n}$

Ответ

$x_{100} = \frac{1}{20}$ является наибольшим членом последовательности $x_{n}$ .

Петр Радько

Указание

Докажите неравенство

$x + \frac{1}{x} \geq 2, x > 0$

Воспользуйтесь этим неравенством для поиска наибольшего члена последовательности.

Решение

x + \frac{1}{x} \geq 2, x > 0

В левой части приведем к общему знаменателю:

$\frac{x ^{2} + 1}{x} \geq 2$

Домножим обе части неравенства на $x$ :

$x^{2} + 1 \geq 2 x$

$x^{2} - 2 x + 1 \geq 0$

$(x - 1)^{2} \geq 0$

Последнее неравенство всегда выполняется, так как слева число в квадрате, а квадрат любого числа $\geq 0$ .

Итак, мы доказали, что

$x + \frac{1}{x} \geq 2, x > 0$

$■$

Рассмотрим произвольный член последовательности $x_{n}$ :

$x_{n} = \frac{n}{100 + n}$

В знаменателе вынесем за скобки $10 n$ :

$\frac{n}{10 n ( \frac{10}{n} + \frac{1}{10} )}$

Избавимся от $n$ в числителе:

$\frac{1}{10 n ( \frac{10}{n} + \frac{1}{10} )}$

Занесем $n$ в скобки в знаменателе:

$\frac{1}{10 ( \frac{10}{n} + \frac{n}{10} )}$

Для скобки в знаменателе воспользуемся доказанным выше вспомогательным свойством:

$(\frac{10}{n} + \frac{n}{10}) \geq 2$

$10 (\frac{10}{n} + \frac{n}{10}) \geq 20$

А значит

$x_{n} = \frac{n}{100 + n} = \frac{1}{10 ( \frac{10}{n} + \frac{n}{10} )} \leq \frac{1}{20}$

$x_{n} \leq \frac{1}{20}$

Но при $n = 100$ получаем:

$x_{100} = \frac{100}{100 + 100} = \frac{1}{20}$

Итак, получается, что

$x_{100} \geq x_{n}$

Поэтому $x_{100} = \frac{1}{20}$ является наибольшим членом последовательности $x_{n}$ .

96 98