97 | Демидович. Решения

x + \frac{1}{x} \geq 2, x > 0

В левой части приведем к общему знаменателю:

$\frac{x ^{2} + 1}{x} \geq 2$

Домножим обе части неравенства на $x$ :

$x^{2} + 1 \geq 2 x$

$x^{2} - 2 x + 1 \geq 0$

$(x - 1)^{2} \geq 0$

Последнее неравенство всегда выполняется, так как слева число в квадрате, а квадрат любого числа $\geq 0$ .

Итак, мы доказали, что

$x + \frac{1}{x} \geq 2, x > 0$

$■$

Рассмотрим произвольный член последовательности $x_{n}$ :

$x_{n} = \frac{n}{1 0 0 + n}$

В знаменателе вынесем за скобки $10 n$ :

$\frac{n}{1 0 n ( \frac{1 0}{n} + \frac{1}{1 0} )}$

Избавимся от $n$ в числителе:

$\frac{1}{1 0 n ( \frac{1 0}{n} + \frac{1}{1 0} )}$

Занесем $n$ в скобки в знаменателе:

$\frac{1}{1 0 ( \frac{1 0}{n} + \frac{n}{1 0} )}$

Для скобки в знаменателе воспользуемся доказанным выше вспомогательным свойством:

$(\frac{1 0}{n} + \frac{n}{1 0}) \geq 2$

$10 (\frac{1 0}{n} + \frac{n}{1 0}) \geq 20$

А значит

$x_{n} = \frac{n}{1 0 0 + n} = \frac{1}{1 0 ( \frac{1 0}{n} + \frac{n}{1 0} )} \leq \frac{1}{2 0}$

$x_{n} \leq \frac{1}{2 0}$

Но при $n = 100$ получаем:

$x_{100} = \frac{1 0 0}{1 0 0 + 1 0 0} = \frac{1}{2 0}$

Итак, получается, что

$x_{100} \geq x_{n}$

Поэтому $x_{100} = \frac{1}{2 0}$ является наибольшим членом последовательности $x_{n}$ .