Рассмотрим отношение

$$\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{\frac{1000^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{1000^n}{n!}}=\frac{1000^{n+1}}{(n+1)!}\frac{n!}{1000^n}=\frac{1000^n\cdot 1000}{n!(n+1)}\frac{n!}{1000^n}$$

$$\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{1000}{n+1}$$

Найдем промежуток, в котором последовательность $x_n$ возрастает:

$$x_{n+1}>x_n$$

$$\frac{x_{n+1}}{x_n}>1$$

Заменим дробь слева на найденное выше выражение:

$$\frac{1000}{n+1}>1$$

$$1000>n+1$$

$$n<999$$

Итак, последовательность $x_n$ возрастает с $1$ до $998$ члена включительно.

Найдем промежуток, в котором последовательность $x_n$ убывает:

$$x_{n+1}<x_n$$

$$\frac{x_{n+1}}{x_n}<1$$

Вновь заменим дробь слева на найденное выражение:

$$\frac{1000}{n+1}<1$$

$$1000<n+1$$

$$n>999$$

Итак, последовательность $x_n$ убывает с $1000$ и далее.

Более того,

$$\frac{x_{1000}}{x_{999}}=\frac{1000}{999+1}=1$$

$$x_{1000}=x_{999}$$

Значит, наибольшим элементом последовательности $x_n$ будет элемент с номером $999$:

$$x_{999}=x_{1000}=\frac{1000^{1000}}{1000!}$$